LAISANT. — Di.VF.LOPPEMEXTS DF. CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES H{^ 



à une case du premier sera commandée par deux cases dont les couleurs 

 auront cliangc simultanément. 



On remarquera lanalogit; que piùsonteiit ces ligures avec les é('lii(|niers 

 anallagmatiques d(! M. Sylvester, au point de vue de cette propriété 

 spéciale. 



4. — Pour généraliser le problème, nous allons le prendre sons la forme 

 où nous l'avons posé au numéro 2 et introduire d'abord simplement 

 trois lettres : A, B, C, au lieu de deux. 



Formons, avec ces trois lettres, les trois permutations circulaires : 



et continuons de la sorte, indéliniment. 

 Par exemple , 



A3B3C3 = A,B,C,B,C,A,C,A,B, 



^A,BiCiBjGiAjCiAiB,BiCiAiCiAiB,A,BiCj . . . 



=zABCBCACABBCACABABCCABABC . . . 



Nous nous proposons de chercher, dans le développement quelconque 

 A^B^G,„, quelle est celle des trois lettres A, B, C, qui occupe un rang 

 donné N. 



Par exemple, le 18*= rang est occupé par la lettre C, le 19'^ rang par la 

 même lettre, le 20*^ par A, etc. 11 s'agit de déterminer, dans les nombres 

 18, 19, 20, . . . le caractère propre à faire retrouver la lettre correspon- 

 dante. 



Pour y parvenir, nous procéderons par analogie avec le problème qui 

 nous a occupé jus(pi'à présent, et nous remarquerons, puisque la (piestiou 

 des signes était seule en jeu, qu'on aurait tout aussi bien trouvé la solution 

 en développant le produit (1 — 1) (1—1) (1—1) . . . ., plutôt que 



(ï—a) {\ — h] (]—<■) .... 

 Ici, nous développerons le produit 



(i+./-l-ii)(i+i4-,yi)(i+i+,/,) , 



