90 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GKODI^.SIE, MÉCANIQUE 



Jeij^ étant les raisons cubiques imaginaires de l'unité, satisfaisant, comme 

 l'on sait, aux relations 



En effectuant les multiplications, nous tomberons toujours comme 

 résultat, pour chaque terme, sur l'un des trois symboles i, j, j^; et on 

 vérifie immédiatement qu'ils se succéderont précisément comme le faisaient 

 tout à l'heure les lettres A^B^C^, si bien que les deux problèmes n'en 

 font qu'un seul, en réalité. Tout est donc ramené à trouver, dans son ordre, 

 le développement du produit (1 H-j+./i)'" et à déterminer quel en sera 

 le N^ terme. 



Nous remplacerons ji par j'' en vertu de la relation ci-dessus, et nous 

 rappellerons que les puissances successives de _/ seront 



j, j\ l,i,iM- 



Cela posé, supposons que nous counaissions le développement 

 de 3^ termes, et que nous voulions en déduire celui de dP+^ termes. 

 Nous écrirons : 



et nous remarquerons tout de suite que y.^ =:z 1 et que a,,?. = (J'^y ==j^p, 

 si bien que ce terme sera 4, j^ ou j, suivant que p divisé par 3 donnera 

 pour reste 0, 1. ou 2. 



Gela posé, effectuons la multiplication du développement qui précède 

 par ; 



i + i + /. 



viendra 



i«i i^2 i^-.i- hiP 



j\ j\ j\- -«..... J\p 



et les rangs de ces termes sont, respectivement : 



1 2 3........ 3'^ 



3P + 1 3î' + 2 3'' + 3......2.3p 



2.3P + 1 2.3P + 2 2.3P + 3......3/^+^ 



Donc, pourvu que 3^ -f Âne soit pas supérieur à 3»^+% nous aurons con- 

 stamment : 



