LAISANT. ~ DÉVELOPPEMENTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 9t 



Cette formule va nous permettre bien aisément d'arriver à la solution de 

 la question. Il suffit d'inia,i;iner. pour cela, (jue nous ayons écrit le nombre 

 N dans le système de numération de base 8. Si nous lui enlevons une 

 unité de l'ordre le plus élevé. v\ <pie le résultat s<)i( N', nous avous : 



^N = .J<^fi' 



Enlevons successivement toutes les unités, à l'exception d'une seule 

 de l'ordre le plus faible, et appelons z le nombre des zéros qui terminent 

 N à la droite. Nous aurons, en posant 3= = N", 



pourvu ([ue s représente la somme des cliifTres de N. 

 -Quant à ax-, c'est évidemment (,/')= ou j-\ Donc, fmalement, 



r 



et, d'après la suite des puissances de j que nous avons reproduites tout 

 à l'heure, 



M * M 



aN= < ./ suivant que s -{- ^z ^^ < ^ (mod. 3). 



( A ( 3 



Si 5 <^ .V, on peut évidemment prendre s — z au lieu de s -\-'2z. 



On remplacerait l,y, j^par A, B, C, pour le problème des permuta- 

 tions dont nous avons parlé plus haut. 



Par exemple, les rangs 18, 19, 20, 21, s'écrivent, dans le système de 

 base 3, de la manière suivante : 



200 201 202 210, 



ce qui donne, pour -s -1-23, 



6 3 4 5 

 nous aurons donc 



C C A B 



pour les lettres correspondantes, comme on peut le vérifier. 



5. — On peut figurer les résultats obtenus pour les puissances paires de 

 3 au moyen d'échi(iuiers à trois couleurs correspondant aux trois signes 

 i,j,ji. Nous donnons ici (pi. III, iig. 4, S) les échiquiers de 9 et de 

 81 cases, en admettant que 1 soit représenté par la coulem* blanche, j par 

 la grise et ji par la noire. 



