92 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



En admettant comme plus haut la propriété associative qui sera ulté- 

 rieurement établie, on reconnaît que, en général, un échicjuier quelconque 

 est ainsi formé : 



< a,/y.i.,..,.a,, aj, 



a. a., a,. . . . 



HVH 



'■/■{^q 'J-/^q •'•>'■•• J-q ' ' 



-.tp-'-q 



rj.^1^V ''J.^J-^' .... oc^a,.,/' . . 



. y.,/' 



On vérifie sur ces échiquiers une partie des caractères que nous 

 avons reconnus sur les précédents, comme 'l'identité des [lignes sur les 

 colonnes et la propriété de représenter une table de multiplication. 



Quant à leur formation successive, voici comment on peut la conce- 

 voir. Soit E un échiquier de 3^ cases de côté. Divisons-le en trois tran- 

 ches verticales égales T, T', T" ; puis accolons successivement les tranches 

 dans l'ordre T' T" T et T" T T', ce qui nous donnera deux nouveaux échi- 

 quiers E'et E". On obtiendra l'échiquier de 3»'+^ cases de côté en formant 

 la figure 



Nous laissons au lecteur le soin de la démonstration. 



6. — Nous allons examiner, à présent, des propriétés nouvelles que 

 nous n'avons pas étudiées pour le cas de deux signes seulement et dont 

 nous donnerons tout d'abord une idée par une vérification numérique. 



Prenons une puissance quelconque de 3 ; 27, par exemple, et écrivons la 

 succession des 27 premiers termes dans le développement de (1 -f-J -hiO'"» 

 en plaçant au-dessus les nombres qui marquent les rangs de ces termes : 



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 14 15 IG 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 



^iiiJii^iiU ./ il Wi i i ^ ./ .A ,/i ^ i i i ii i ii i- 



Si nous comptons combien de fois chaque signe se trouve dans cette 

 suite, nous obtenons toujours 9. 



1 occupe les rangs 1,6,8, 12. 14, 16, 20, 22, 27 

 i — 2, 4, 9, 10, 15, 17, 21, 23, 25 



y^ ^ 3, 5, 7, 11, 13, 18, 19, 24, 26. 



