LAISAM. — DÉVELOPPEMENTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 93 



En faisant les sommes : 



1 -1- G + «+......+ 27 



2 + 4 + 9+,,....+ 25 



3 + 3 + 7 +..,-..,.+ 26, 



nous obtenons toujours 426. 



Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, le nombre et la somme des 

 rangs occupés par chaque signe sont les mêmes pour les trois signes. 



Il est facile de démontrer d'une laçon rigoureuse cette double propriété, 

 pour une puissance quelconque de 3 supérieure à 8 lui-même. 



Admettons en ciTet que, dans la suite des 3'' termes 



a, a., a 



3P1 



chacun des signes 1 , j, jj se rencontre le même nombre de fois, c'est- 

 à-dire 3p-* fois, et formons, comme plus haut, le développement de 3^^*, 

 terme qui s'obtiendra en multipliant par 1 + J + Ji» 



Nous écrirons ce nouveau développement sur trois lignes, de 3^ ter- 

 mes chacune. La première sera justement le développement aj a.^. . . .ix^p. 

 La seconde, qui s'obtient en multipliant par y, résultera de la transforma- 

 tion de tous les 1 de la première en j, de tous les ,/ en J^ et de tous les ji 

 en 1 . La troisième ligne résultera de la transformation de tous les 1 de la 

 première en j^, de tous les j en 1 et de tous les j^ en j. 



11 est dès lors évident que nous trouverons 3*^"' fois chaque signe i,j,ji 

 dans chacune des trois lignes et, par conséquent, 3'' fois chaque signe 

 dans le développement total. 



Si maintenant À, X',... sont les rangs occupés par 1 dans le déve- 

 loppement de 3^ termes; [x, a',... les rangs occupés parj, et v, v',... les 

 rangs occupés par j\ dans le même développement, nous aurons, pour 

 les rangs occupés dans les diverses lignes, le tableau suivant, d'après les 

 observations qui précèdent : 



l'« ligne ! 



1 occupera les rangs ,.,.,.,.. X, À', . . . 



j'" ,..c....... [J., [/.... 



il V, v', ... 



[ 1 3P+V, 3P+v', . . 



2<= ligne ) 3p+X, 3p+a', . . 



(à ^"+1^, '^"-h'/,- 



[ 1 , 2.3P+JX, 2.3p+|/, 



3Migne j ./. ■ 2.3p+v, 2.3p+v',. 



