94 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCAMQUE 



Donc, la somme des rangs occupés par 1, par exemple, sera 



i: A -f 3^.-' 3'' + i: V + 3^.-* ± 3^' + i: a. 



ou 



3^i^ + i: X -f i] ij. + i] V, 



et cette somme sera la même pour / et pour j^. en raison de la symétrie du 

 résultat. 



11 est clair d'ailleurs que 



i: X + S a + S v = 1 -}- 2 + , . . + 3'' ^ i 3^ (3''+1 ) ; 



de sorte que la somme ci-dessus est 



l 3»^ (3' "+1) :- ^1 + ^2 + 3 +. . .+ •àP+^). 



La double propriété est donc établie pour le développement de 3/'^-' ter- 

 mes, pourvu que, dans celui de 3p termes, chaque signe figure le même 

 nombre de fois. Or, dans le développement de trois termes. 



1 i il, 



nous trouvons une fois chacun d'eux. l*ar suite, la proposition se trouve 

 démontrée pour tous les développements (1 +i+ii)N ••••(!+ i -f-Ji)'"' 



7. — Sans insister davantage sur ces propriétés se rapportant à trois 

 signes, nous pouvons immédiatement généraliser les notions acquises jusqu'à 

 présent et les étendre non plus à trois signes seulement, mais à n signes, 

 ?! étant un nombre entier quelconque ; et cela, que nous nous proposions 

 la question sous la forme d'un développement de produit, ou bien, comme 

 plus haut, d'un problème de permutations. 



Pour cela, nous considérerons les racines /i*''"'^'^ imaginaires de l'unité. 

 Appelons y celle de ces racines qui a le plus faible argument. Alors, comme 

 l'on sait, toutes les autres racines seront 



/, /, /,...../-'. /^ 1. 

 Cela posé, formons le polynôme 



^ = i +,/■ -^/+...+r'-n 



et cherchons à développer les produits P^ de ce polynôme par lui-même 

 pris autant de fois qu'on le vouch-a. Nous supposerons, comme plus haut, 

 qu'on ait obtenu le développement P''; 



7.i=:l y.., 7.^. ce . .7.„j, , 



