96 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



le terme ap, sera, respectivement, 



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s'il s'agit du problème des permutations et que nous soyons parti des n 

 lettres A^, A„ . . . ■ . A„, la lettre de rang N sera, respectivement, 



Al, A„ A„ A„. 



Ou construirait aisément, par analogie avec ce qui a été dit plus haut, 

 l'échiquier de n''' cases, de n couleurs difîérentes, et l'on vérifierait, sur cet 

 échiquier, les propriétés essentielles indiquées précédemment. 



On s'assurerait aussi, sans aucune peine, que, dans la suite des n^ pre- 

 mières lettres écrites, chaque lettre se retrouve le même nombre de fois, 

 et aussi que la somme des rangs occupés par une lettre est la même, 

 quelle que soit la lettre considérée. 11 suffirait, pour cela, de suivre pas à 

 pas la démonstration que nous avons développée pour le cas de 3 lettres. 



Nous donnerons comme type (pi. III, fig. 6) l'échiquier de 256 cases à 

 quatre couleurs, représentant le développement de (1 -f t — 1 — i)\ avec 

 les conventions suivantes sur les couleurs : 



+ 1 blanc 



-1- i bleu 



— 1 noir 



— i rouge. 



On remarquera la symétrie particulière que présente ce dessin mosaï- 

 que par rapport aux diagonales. 



8. — Étudions maintenant, pour pousser plus loin la généralisation, le 

 développement ({u'on obtient en multipliant successivement par lui-même 

 le polynôme à quatre termes : 



4 -Ml + i, -f- I3, 



II, I2, I3 étant les unités rectangulaires fondamentales de la méthode des 

 quaternions, qui satisfont aux relations ci-dessous : 



ii'^ = i;- = 1/ = - 1 



Il l, =: — 1, Il = — I3 

 I3 II = — Il I3 = — I,. 



Ici, la multiplication n'étant plus commutative. il faudra dans les cal- 



