LAISANT. — DÉVELOPPEMENTS DE CERTAINS PHODLITS ALGÉBRIQUES *J7 



culs une attention toute particulière sur l'ordre des facteurs de chaque 

 produit, pour éviter toute erreur. Il est clair, d'ailleurs, qu'en combinant 

 par multiplication d'une manière indélinie et comme l'on voudra les 

 quatre éléments donnés, nous n'obtiendrons jamais comme résultats que 

 les huit expressions : 



1. il. I,. 1,. — I. — I,. — I,. — I,. 



La question ([ur nous nous proposons est de savoir lequel de ces huit 

 symboles occupera un rang déterminé N. 

 Il est évident, tout d'abord, que le nombre des termes du développement 



l' j _i_ 1^ _l_ I , _f- I V^ sera 4'' . (pie le premier terme sera toujours 1 , et que 



le dernier sera ig''. 



Cela posé, supposons «{ue le développement dont nous venons de parler 

 soit connu : 



y.^ ^ ! y.., 7.,, a^^, , 



et cherclions à en déduire le développement suivant, (pii s'obtiendra en 

 multipliant par 1 — ii -^ i^ 4- l,. Nous aurons : 



ai '■'■■i ^t'' 



tti 11 y.., I, î^iî'ii 



«1 i-i y-, 1. ^-«'''ï 



o-i h ^-z ' ^-t'' 's' 



et les rangs de ces termes seront respectivement 



1 -2 i'' 



4P u^ \ 4'^^-2 . . . . -2.4'' 



:2.4''" I ^2.4?'— -2 . . . ;-5.4" 



8.4"-;- 1 'S. if— ^2 . . . 4/' ri. 



La comparaison ûv. ces deux tableaux nous permettra de l'aire immédia- 

 tement les remarques qui se traduisent par les relations ci-dessous, dans 

 lesquelles nous supposons 7 compris entre et 4'' : 



a.^p = IÇ, a^.jp — \'^l^, a.,.j;, -- I^Ij, 



Supposons actuellement cpie le nombre N ait été écrit dans le système 



