100 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



table de multiplication, à la conditioii de prendre pour premier facteur le 

 symbole de la première ligne, et pour second facteur le symbole de la pre- 

 mière colonne. La première colonne et la première ligne sont identiques ; 

 mais il n'en est plus ainsi pour une colonne et une ligne de même rang 

 quelconque. 



Les propriétés relatives au nombre et à la somme des rangs occupés 

 par un symbole n'existent plus ici. Mais on peut les faire réapparaître à la 

 condition de grouper, en les confondant, les symboles représentés par la 

 même lettre ou le même chiffre, avec les signes H- ou — . Par exemple, 

 le nombre (ou la somme) des rangs occupés par -t- 4 et — 1 est égal au 

 nombre (ou à la somme) des rangs occupés par + ij et — ii , etc. Nous 

 ne nous arrêterons pas à démontrer ces propriétés, évidentes pour ainsi 

 dire, d'après ce qui précède. 



Dans le cas où l'on réunit ainsi, sans les distinguer, les signes + et — , 

 les échiquiers se réduisent nécessairement à quatre couleurs au lieu de 

 huit. Nous donnons comme exemple l'échiquier de 256 cases (pi. III, iîg. 7) 

 construit avec les conventions suivantes : zh: 1, blanc; dz i^ bleu ; ± i^, 

 rouge ;zb ij, noir. On remarquera la grande symétrie du dessin mosaïque 

 ainsi obtenu, soit par rapport aux médianes, soit par rapport aux 

 diagonales. 



9. — Nous allons aborder maintenant une question plus générale, com- 

 prenant celles qui précèdent comme simples cas particuliers. Soient q poly- 

 nômes : 



Pj — (/j -L 6^ H- . . . -h /l'i -^ . . . -]- /i , 



P., :^ (/^ -h 6, + ... -h A-,, + . . . -1- /^ . 



P^ — a,^ — 6,j -r- . . • -- l^q -I- ... — /g . 



Appelons, dune manière générale, Ui le nombre des termes du polynôme 

 I\; etki étant un terme donné quelconque du polynôme P,, désignons 

 par Vi le rang qu'occupe ce terme dans le polynôme. 



Supposons maintenant que nous développions le produit \\ P.^ . . . 1*,, 

 en observant, comme nous l'avons toujours fait, l'ordre des multiplications 

 (lesquelles peuvent même n'être pas commutatives). 



Connaissant les termes k^, k^, ... k„, on peut se proposer de trouver le 

 rang R qu'occupera, dans le produit développa, le terme Aj k^ ... /c, 

 auquel les termes considérés donnent naissance. 



Inversement, connaissant le rang R, on peut se proposer de trouver, 

 dans les divers polynômes, les termes k^, k^, . . . /.-,,, dont le produit doit 

 former le terme du développement qui occupera ce rang R. 



