LAISANT. Di.VKLOPPEMENTS DR CERTAINS PRODUITS ALGKBRIQIKS KM 



De là, uu double problème (jiie dous allons essayer de résoudre. Dans 

 ce but, eHectuons simplement d'abord la multiplication des deux premiers 

 polynômes V^, 1^. Elle nous offrira le tableau ci-dessous, dans letiuel, 

 pour abréger, nous supprimons les sic;iies -+-, complètement inutiles : 



^1 ''i /'i — ^ 



(1.^ h., /.-, 4 



"\"> ^>\" • ' • • ' ^'V'j • ' ^"■i 



ii^h., hj>, .... /.-,/>, /,/', 



aj,:, hji, .... I.-J.; IJi, 



aj, hj, .... Â,/, ......... /,/. 



Cha([ue lij^ne contient % termes. Le terme kji.^ est situé dans la lii^ne 

 de rang r\ et dans la colonne de rang 7\. Il y a donc avant sa ligne (r,— l)/jj 

 termes, et, par suite, le rang p de k^ k^, dans le développement, est 



(1) p = (r.,— 1) »i -^ t\. 



Actuellement, si nous voulons obtenir le rang de A-,/.,,/.'.; dans le pro- 

 duit développé PiPjPg, nous remarquerons que dans le polynôme P,P., il y 

 a niH.^ termes, et que le terme kj,\^ y occu|)e le rang p. 



Donc, en appliquant la formule (1), nous aurons pour le rang elierclié : 



(/•j— 1^ n^>i^ + p, 



ou 



{>': — \)n^n^-i-{i\—i) Hi + r 



Eu répétant le même raisonnement d'une façon successive, il est évident 

 qu'on obtiendra, pour le rang H du terme /.'i k.^ . . . . k^ , la formule sui- 

 vante : 



(2)R==:(r,— fj n, /;, . . .H,_i + (r,_i— 1) Hi /(,. . .n,_2+. • .+{''•—•) "i + '-p 



Cette formule, qui contient en réalité la solution complète de la (pies- 

 lion proposée, va nous permettre d'abord de déuiontrer une propriété 

 importante. 



Supposons que nous ayons formé les deux produits développés ; 



I) n p — Y 



pi) l> \i 



1 III — \ 1 m~2 .... I M — I ... 



