\(H MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



D'après la iormiile (2). le terme k\ k.^ .... k^ occupera dans le poly- 

 nôme F^, qui a n^ n., . . - »„, termes, le rang : 



D'après la même formule, le terme kni+\ km+i . . . k^ occupera, dans le 

 polynôme Fg, le rang ; 



R.^ = (r, — 1) nm+[ nm+2 • • .»7^i -I- (/V/-i— 1) n,n+i nm+2 ■ • • îîf/~2 ^- ■ • • 



-f- U'm+2 — 1) llm-\-\ + >'m+\ . 



Formons maintenant le produit Fj F^. Le terme Aj /.g . . . kg, formé par 

 le produit de A\ k^. . ./.„,, qui a le rang R^ dans F^, et de km-{-\ Am+2 . . . A,, 

 qui a le rang R, dans F,, occupera, en vertu de la formule (1). dans le 

 développement F^ F,, le rang : 



(H, — 1) »i ih . .0 n„i-h Ri, 



c'est-à-dire précisément le rang R, en vertu des valeurs précédentes 

 de R, et R^. 



Donc le rang d'un terme est le même dans le développement final, que 

 ce développement soit obtenu par les multiplications successives, ou bien 

 par la multiplication des deux produits préalablement effectués F^, F^. 



Cette proposition était fort loin de présenter, a priori, un caractère d'évi- 

 dence, bien qu'elle soit très naturelle. 



De là il est aisé de déduire que le résultat général sera toujours le 

 même, si l'on groupe les polynômes Pj, P,. .... comme on le voudra, et 

 qu'on remplace chaque groupe par le produit effectué, pourvu que, dans ce 

 groupement, on ait soiu de respecter absolument l'ordre de ces polynômes. 



En effet, soit, par exemple, 



n = Pi P„ V, P, P, Pg P, P,. 



Écrivons ; 



n' = P, (P, P3) (P, P, P,) (P, P,). 



le signe = devant nous représenter, ici. non seulement l'égalité de valeur 

 numérique, mais l'identité dans la succession des termes. 

 Nous avons, d'après ce qui précède : 



P, (P, P,) :^ l>i P, P, (P, P, P,) (P, P,) = P, P, P„ R P« . 



et : 



(P, P, P,) (P, P, P, P, p;) = p, p, P3 p, R p, R p, . 



Donc ; 



11' - IL 



