LAISANT. DKVELOPPEMENTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 103 



C'est ce qn'oD oxprinic d'une manière îibrégcf' en disant que la multi- 

 pliratiou de plusieurs |)()l\iiôuies est assorint>ri\ aussi i)ieu quant à l'iden- 

 tité de succession des ternies (pie par rappoil à l'égalité de vah ur des 

 résultats. C'est cette propriété d'assoeiativité que nous avons invoipiée ci- 

 dessus, aux numéros 8 et suivants, pour la démonstration des propositions 

 principales sur les échiquiers. 



Il est clair que la tormukî (2) résout le problème direct que nous nous 

 étions proposé : « Connaissant les termes k\, k.^,-" /ù/- trouver le rang du 

 terme lx\ k^.... k^. » 



Pour en tirer la solution du problème inverse, retranchons l'unité des 

 deux membres de cette formule (2). 



Tl vient 



(3) R— Ir=(r,—i )/),/),.. ./),_i+(/V-i—l) '*,'î.,---"7-2+---+(''2—l) "!+''—''• 



C'est, en quelque sorte, la traduction du nombre H — 1 dans un sys- 

 tème de numération d'un genre particulier. Les chiffres des unités succes- 

 sives des divers ordres doivent être multipliés non plus par les puissances 

 successives 



1, h, h\ 



d'un même noml>re h. mais par les produits successifs 



J. /(,. n^n, 



d'une suite de noml)res généralement différents les uns des autres. Si tous 

 les polynômes avaient le même nombre de termes, on retomberait sur un 

 système de numération ordinaire. Il est clair d'ailleurs que, par la nature 

 même des choses, les coefficients i\—\. i\ — \,.... r,— 1, ou les chiffres 

 du nombre R — 1, dans le système de numération dont il s'agit, sont res- 

 pectivement inférieurs à n^, n^,.... n^. 



Le procédé pratique, pour écrire le nombre donné R — 1, dans le sys- 

 tème de numération considéré, s'indique de lui-même. II faudra diviser 

 R — 1 par n^. le quotient obtenu par w.^. et ainsi de suite. La série des 

 restes de ces divisions nous fournira la série des chiifres de R — 1. En 

 les augmentant d'une unité chacun , nous aurons les rangs cherchés : 



rv'>\ ^'7- 



Comme exemple, prenons le produit : 



{a-^b-]-c) (d + e) (f-{-g + h A-i) (Ji- k) (l-\-m-\-n-^o-\-p) 



qui a 2i() termes. Soit ])ropo,-é d'en déterminer le 11 8'^ terme. 



