I.AISANT. DKVELOPPF.MENTS DK r.r.UT.UNS PRODUITS ALGKBRIQUF.S 105 



et de \i\. par addition avec la formule (i) : 



R + IV — 1=:N, on ir > — Il hl; 



c'est-à-dire que le nouveau rang sera le même ([ue tout à l'heure, mais 

 à la condition de compter les termes à partir du dernier dans le dévelop- 

 pement. 



Ainsi: Un prodiiit de plusimrs polynômes étant développé, si l'on ren- 

 verse l'ordre des termes dmis chacun de ces polynômes, sans intervertir 

 l'ordre de CCS polynômes eux-mêmes, l'ordre des termes du développemeyit 

 se trouvera renversé. 



Laissons, à présent, tous les polynômes sans modification, à l'exception 

 d'un seul, P,, auquel nous ferons subir une permutation circulaire. Un 



terme /.•, de ce polynôme occupera successivement les rangs r^, î\+ ' 



c'est-à-dire, dans un certain ordre circulaire, les rangs 1, 2, ....Wj. 



Les termes de R resteront donc identiques, à l'exception de..... 

 (,.._[)„^,)^.. ..,(,_,; par conséquent, toutes les valeurs correspondantes de 

 R formeront une progression par différence dont la raison est rj^/i.,... »i_i. 

 Autrement dit, dans le système de numération à bases multiples (lue nous 

 avons considéré, le i^'"^ chifïre à partir de la droite prendra toutes les 

 valeurs dont il est susceptible, sans que les autres cliilfres soient modifiés. 



Reprenant le produit PiP,....P^, désignons par R, le rang du terme 

 /.'i /.-^ .... /.v,, que nous avons jusqu'à présent désigné par R ; puis formons la 

 permutation circulaire des polynômes P.P., .... P.,Pi et cherchons, dans !<• 

 nouveau produit, le rang Ri du terme /.•../.■j .... k^ k,. Nous aurons, en vertu 

 de la formule (2) : 



R^= (/-j — J ) /),... n,, + ....+(>•, — 1) n, «3 + C'a — 'l) "2 + ''2- 



Multipliant par ni, en tenant compte delà formule (2), il vient 



n^ Ri = (j'i — 1 ) N ^ Rq +«1 — ri. 



Telle est la relation entre les rangs des termes provenant des mêmes 

 facteurs, dans deux permutations circulaires consécutives des polynômes. 

 On peut l'écrire encore : 



n,l\, — \\r, = (r, — m-^-n, — r,, 



et on a de même : 



n,R, — Ri = (r,— 1)iN + /J, — r,, 



„,, 15,, — U,,_, ^ ( /•,, — \)\^ n,, — r,, . 



