106 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



En ajoutant ces relations, on a : 



S n R — i: R = (i] r — g) N + S ?«,— i] r 



=:Sr(N — 4) — (çN — S??.). 



Si le nombre des termes n était le même dans tous les polynômes, cette 

 formule deviendrait 



(n — 1) S R = S r (ni — 1) — nq (n "i - ^ ), 



forme assez simple de la somme des rangs obtenus pour les termes prove- 

 nant des mêmes facteurs, par suite des permutations circulaires. 



Supposons, par exemple, 7 polynômes de 10 termes chacun. Alors q = l, 

 /} == 10, et nous avons : 



S R =: i] r. 11114 r — 7777770. 



Soit, à présent, que, dans le produit P^P.^ .... 1\. nous fassions permuter 

 deux polynômes consécutifs Pi et Pi+1. Pour avoir le rang R" du terme 



kj,:^ Â/--1 /.j+i A-, A7+2 K dans le nouveau produit, il suffira, bien 



évidemment , dans la formule (ï2), d'échanger entre eux les deux indices 

 ^■ et ?4- 1 ; une simple soustraction montre ensuite qu'on a : 



R — R" = ?îi n, n.-, [(/-/-h — 1 )(;), — 1 ) — ( r, —1 ) (ni-u^ — 1)1 . 



Si, par exemple, nous avons des polynômes successifs de 



3, 3, 4. ± 7. G 



termes, et qu'on ait pris le A'' terme dans le 5« polynône et le 5'' terme 

 dans le G^ polynôme, la permutation de ces deux polynômes entraînera un 

 déplacement de 



3.5.4.2.[(5 — 1)(7 — 1) — (4 — 4)(6 — 4)]:=4080rangs. 



Si les deux polynômes P, et P/^i ont le même nombre de termes, la for- 

 mule se réduit alors à : 



R — R" zrr_ ;,, ;)... . . . .ni^^ (ih—i) (?-'+i — r,-). 



Si le rang n est le mémo dans les deux polynômes, elle devient 



R — R" = /il /),. . . . .71,-1 ('%■ — i) {ni — "/-i). 



Si ces deux circonstances se produisent à la l'ois, il est clair que le 

 déplacement est nul. 



