LAISANT. — DKVKI.OPPEMFNTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 107 



Il est mil f'Dcore lorsque ?•, = n+i = l. et lorsque r,=^»,. r/4-1 =îî/+i . 

 lU étant diflerent de «/-.^ . 



Enfin on peut s'arranger de manière à annuler le déplacement en 

 choisissant les rangs n et /\+i d'une manière convenable, toutes les fois 



que la fraction !il±iIZ. n'est pas irréductible. 

 ni — 1 



Si , par exemple, nous avons ??, — / , n/^, = 1 / , comme -^-=-3 » i^ suttira 



de prendre r, ^ 4. /•,+! == 9 pour que R — R" s'aimule. 



11. — Xous terminerons par une application de cette théorie à la 

 somme des diviseurs d'un nombre 



M = fl'^ èP cY l'k mv- , 



a. h Lm étant ses facteurs premiers, que nous supposerons rangés 



par ordre de grandeurs croissantes. 



On sait que la somme des diviseurs de ce nombre est donnée par le pro- 

 duit : 



(l_La_|-fl2-f.... + fl«)(l-f 6 + 6"- + .•"^-&P)(l+w.+ wM-...-!-"i'')• 

 En ayant soin de considérer ce produit développé suivant l'ordre de ses 

 termes, il nous donnera non seulement la somme, mais, en quelque 

 sorte, un classement des diviseurs du nombre M. dont chacun aura un 

 rang déterminé qui suffira pour le distinguer de tous les autres. 



Si nous considérons l'un quelconque de ces diviseurs, a"' b^' c^' m^- 



par exemple, il faudra, pour assimiler nos formules précédentes à la ques- 

 tion actuelle, faire : 



r^ ^:, ,/ 4_ 1. r, z= f.' -f 1. . . . . 7-, = -/ + 1. 



En appelant toujours R le rang du diviseur que nous avons choisi, il 

 viendra donc 



[\ — i nz 7/ -^ fi' (ce -j- 1 ) + y' (7. + 1) (fi -f- 1 ) + . . . . 



-t-;/('/H-l)(ô + 1)....(À + l). 



en vertu de la formule (8). 



C'est toujours l'emploi du système de numération à bases multiples que 

 nous avons précédemment défini, et dans lequel le rang du diviseur 

 s'écrira d'une manière immédiate. 



