H. POI.NCARl':. — SUR LKS I.NVAUIAMS ARITHMÉTIQUES III 



Envisageons la tonction doublenient j)ériodi(|ue à deux iniiiiis: 



FU.,..f,= Z Z 



on aura identiquement : 

 I 1 



1 l 



•a — am — hn x — f^ — am — bn 



X — a x-f-i 



H, (a,6) + H,(/;,-a) + H,(-fl-6)-fHa-6,^/) 



Les (juatre fonctions IIj ([ui entivnt dans l'expression de F s'exprimeront 

 par une intégrale dé(ini-<'. pourvu (pTaucun des (piativ (juadrilatères con- 

 vexes : 



1° a h I) -{- x — x h -^ p — X 



2° b — a — a + a — x — a ~\r p — x 



S" —a — b — b -]-' a. — X — 6 + 6 — x- 



4" — b a a -^ X — x (^ + [^ — i^ 



n'enveloppe l'origine ; c'est ce qui arrivera si les points a — x al p — x 

 sont intérieurs au parallélogramme Q ([ui a pour sommets : 



a -\- b a — b — a — b b — a 



Or on ne change pas la fonction F en ajoutant à a ou à [5 des multiples 

 des périodes ; on pourra donc toujours disposer de a et de p de telle sorte 

 que a — X et fi — x soient intérieurs à Q. 



La fonction F peut donc toujours être représentée par une intégrale 



définie. 



f/'"F 

 Il en sera de même de -r— ;:r et on en obtiendra l'expression |)ar voie de 

 a a '" ^ ' 



ditï'érentiation sous le 



iigne / ^ 



Or toute fonction doublement périodique s'exprime linédii-enicilt à 



d'" F 

 l'aide de fonctions telles (pie F et de fonctions telles (pie -rr^,- 



Donc' toute fonct/'oii doublement périodique s'cxpriinc pur une intégraU 

 définie. Les limites d'hitéyrdtiôn sont Ûel oc . La fonction soUS le sujne j est 

 rationnelle, par rapport à diverses puissances chitièik's dû i et ii dtrersc's 

 exponéniielles de la l'orme c--^' et e'''. 



