112 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCAMQUE 



Considérons, en particulier, la fonction : 



A^) = Z 



{X — am — 6n)-' 



En posant: 



j 



_ff_ _ Y [ 



on aura: 



1 l ■i'"- .. .'■' 



d'où il suit (pie la fonction o-t (?) peut être représentée par une intégrale 

 définie de la forme : 



/V-Krf. 



où F est une fonction rationnelle de diverses exponentielles de la 

 forme e^-^ et e^^^. 



La fonction cf-k (</) est lioiomorphe, toutes les fois que q n'est pas réel. 

 Elle jouit des deux propriétés suivantes : 



1° Si l'on change q en 



Y g + s' 

 où a, f:i. Y, sont des entiers tels que a o — ,S y ^= ^ ' '-pk (7) se change en 



(Y7H-S)^''cpk(ç). 



2" Quand la partie imaginaire de q est positive cfi^ (9) peut se déve- 

 lopper en série et on a: 



n = «se m =■ oc 



Zl (2/71)'^'^ ^ '2,1117 q 



7l^^ + 1.2...(2A-— 1) 2j '*-'^ 

 n = 1 î;i = 1 



Dans cette formule, u,„ représente la somme des puissances (2 /. — 1 j' 

 des diviseurs de m. 



Voyons maintenant <[uel peut être le rôle arithmétique de ces fonctions 

 cpk iq) dont nous venons de donner deux expressions, l'une par une inté- 

 grale délinie, l'autre par une série convergente. 



