H. POINCARÉ. — SUR LES INVARIANTS ARIHTMÉTIQUES 118 



On appelle invariant algébrique de la forme F {x, y) toute fonction des 

 coefficients de cette forme qui ne change pas quand on fait : 



X = a x' -f fi y' 

 y =xx' -t-i xj 



où a, p, y, 8 sont des nombres quelconques tels que a o — j3 y = 1. 



De même, on appellera invariant arithmétique de F toute fonction des 

 coefficients de cette forme qui ne changera pas ([uand on fait : 



X = X x' + py' 

 y = y x -^ùy' 



où a. p, Y, 5 sont des nombres entiers tels que a 8 — S y -^ 1 . 



Une forme linéaire a x -\- b y n'aura pas d'invariant algébrique : elle 

 aura, au contraire, des invariants arithmétiques ; par exemple, les séries 

 convergentes : 



z 



1 -±.^i!L 



(am + 6/()'' ~ />'' ' \h 



Les invariants arithmétiques peuvent servir à reconnaître si deux 

 formes quadraticpies dctiiiies F et F' de même déterminant sont équiva- 

 lentes. 



Soit : 



F = (i X- -{-'ihx y -f- c y"^ = mod 



F' = a' x'^ ■\-'ib' X y' -j- c y' ■ -. 



H^^^^/T J 



mod X y a'-i-y j^ 



On aura : b- — ne ~~ b'- — a' c r_^ l). 



Si les deux formes sont éipiivalentes, on aura poui' des valeurs entières 

 de -/, p, y, telles (juc x ô — p y z=: \ : 



(1) o (a x' 4- 6 y'f -f 2 /; (x x -f p y') (y x' + 3 y') -{- o (y x'-}-^y\=: 

 a' x' 4-2 6' x' y' -f c y' \ 



ou bien : 



'1 bis) (a ./•' ^r P //') \'a - (y ^ -r o y') '' '^ ^ j^l 



ac 



[r'v^7 



b'-\-\/b''~ar' 

 -^'J 7^ 



