H. POINCARÉ. — SUR LES INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 115 



vérilièe, les deux formes sont équivalentes ; si l'identité n'est pas vérifiée, 

 on est certain (|ue les deu\ formes ne sont pas équivalentes. 



De même que les formes linéaires, les formes de deg;ré plus élevé et les 

 systèmes de formes ont des invariants arithmétiques. Considérons la forme 

 quadratique : 



(4) ax^-{-^bxy-{-cif 



où 



b^ — ac = D. 



Si D <^ 0. elle aura pour invai'iant arithmétique la série : 



^ ' ^ (a //(,■•* -\~^2b ni n-{-crf)^' 



k est un entier quelconque et l'on donne à m et à n sous le signe ^ 

 tous les systèmes de valeurs entières, sauf le système 



m = Il = 0. 



Soit maintenant D >> ; soient t et u les deux plus petits nombres 

 entiers tels que : 



t'^ _ I) u^ — 1. 



Soit 



La forme (A) aura pour invariant arithmétique la série : 



k est un entier (quelconque et l'on donne à m et à n sous le signe ^ 

 tous les systèmes de valeurs entières tels (jue : 



m n ^ ou =:; -^ <. -r* 



n t 



Le système des deux formes linéaires; 



