OLTRAMARE. — ÉTUDE d'uN DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE 119 



également lieu pour tontes les valeurs réelles et négatives. 

 En effet, si nous posons pour abréger 



p(x) = 1 + A,x^— A^x' + . . Â^n.i.x*"-^ 



W (x) = i +A,x' — \x' + . . — A;„.,.r'*"-*, 



nous aurons, par hypothèse ; 



X . X (S) 



X ^ „,, X (6) 



et en changeant x en — x, nous obtiendrons, en remarquant que 



p{x) = p(—x)etWix) = W{ — x), les relations : 



selon que l'inégalité (3) ou l'inégalité (4) n'est pas satisfaite pour une 

 valeur négative de x. 

 Les relations (5) et (7) nous donnent"; 



PW^âfe"— 1) P^^^'^2(e''— 1) 



inégalités qui ne peuvent subsister simultanément. 



On obtiendra le même résultat, pour la fonction ^(x), à l'aide des for- 

 mules (6) et (8). 



Nous pouvons donc nous borner à reconnaître l'exactitude de nos 

 théorèmes dans le cas où x a une valeur réelle et positive. 



§ 3. Considérons la valeur de S^ donnée par la formule 



22nn + 2~T"32'"-r2 ' 



1 



" 02m "T~ 02 



* I C)2m "t" q2m " 



11 est facile de reconnaître que cette quantité restera toujours infé- 

 rieure à l'unité, dont elle diffère d'autant moins que m sera plus grand. 



