124 MATHKMATIQUKS. ASTRONOMIE, GKODKSIE, MKCANIQUK 



nous verrons, en posant : 



7/1 + 1 , m{in-{-l) (m — 2)(w — i)m{m-{-[) , 



(m — An-[-4:){m — 4h-1-o) 

 ••+"^"-' 1.2.3. . (An-^2) ' 



que l'équation (13) peut se mettre sous la forme : 



^(4n)ir'" 4- W{4n + l).r*'i ^H + . . . =0. 



11 résulte de là que, si nous reconnaissons que cette fouet icm W{m) est 

 positive pour toute valeur de m supérieure à 4n-|-5, il en sera de même 

 de la fonction p{m), et, par suite, l'équation (15) aura tous ses coefficients 

 positifs et ne pourra être satisfaite qu'en posant x=zO. 



Si nous admettons d'abord que n^=[, nous aurons : 



„„/ N , ^n-{-\ , m(»«4-l) 



2 ^ * 1.2 ' 



expression qui est positive pour toute valeur de m>>9=;i/î + 5. 



I/inégalité (3) est donc démontrée lorsqu'on ne considère (|ue trois 

 termes dans le second membre. 



Si nous supposons m = 2, nous aurons, en admettant que l'on repré- 

 sente par M la somme des termes qui précèdent les deux derniers, 



•Kmj-M^- 1.2.3.4 Ha^ 5.6 S* 



Mais nous avons, à l'aide de la formule (9) : 



«3 0.6.S2 



et, par suite : 



(m.^ 2)(m-l)m(m + l) .jS, (m-4)^m-3) ) 

 •^w/ij^-in-i 1.2.3.4 ( (27:)- ~ )' 



Or. comme nous avons reconnu que 



,, , m4-l , m{m-[-i) 



