1^6 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



en remarquant que 83= TTj ; or cette inégalité est maniieste, puisque 



S3'<S2n-2 lors(|ue n est supérieure à 3. 



L'inégalité (3) se trouve ainsi généralement démontrée. 



Quant à l'inégalité (4), elle se démontrerait par un procédé analogue à 

 celui que nous venons d'employer. 



Nous pouvons conclure de là que, si l'on considère le développement de 



X 



la fonction ^^^ — r suivant les puissances de x, l'erreur, en s'arrêtant à un 

 certain terme, sera donnée en valeur absolue par l'expression : 



qq'iVI — 2 



AjSjSjj . . . 8211 — 27 



\27r)^"- 



valeur qui va en augmentant ou en diminuant avec n. selon que x sera 

 plus grand ou plus petit que 2-::. 



^ 5, La série (1) est reliée, comme on le sait, au développement '^p{x) ; 

 l'examen de cette suite peut servir à déterminer la convergence ou la 

 divergence de plusieurs séries (jui dépendent de la valeur des nombres de 

 Bernoulli. 



Ainsi, nous pourrons taire remarquer que, en écrivant la série (1) sous 

 la forme : 



, , , ,, . ^i , _ a? LC x é-\-e ^ 



e^ — e ^ 



nous aurons, à l'aide d'une formule connue de Legendre, qui donne le 

 développement de ^, .3, - en fraction continue, en remplaçant x"^ par 



- etA2,A^,.. par leurs valeurs exprimées à l'aide des nombres de 

 Kernoulli : 



n, o^ (n\ (h /"V_ _ ^ 



1.2 1.2.3.4Vm/ ' l.ïi.3.4.5.6\/»/ " ^3.4 + n 



5m -)~ n 



9m + .. 

 Si, en second lieu, nous changeons dans la formule (1) x en x \/^—[. 



