FIEDLER. — DK LA GÉOMÉTRIE DES SYSTÈMES DE CERCLES 129 



forment deux hyperboloïdes de révolution équilatérales à une nappe autour 

 de l'axe des z, situés symétriquement par rapport au plan, ayant le cercle 

 R pour trace commune et dont les cercles de gorge ont le rayon R sin g et 

 la distance R cos g du plan. Les deux hyperboloïdes coïncident dans un 

 seul qui a le cercle donné comme cercle de gorge, oîi ré([uation se réduit 

 k oc^ -i- y^ ^ z^ = K- , si les cercles du système coupent le cercle R à angle 

 droit. Pour g = ou a = -k, on a x"^ -f- if- — z^ = R'^ q= 2 Rz, les cônes équi- 

 latéraux (jui passent par le cercle R. Si le rayon R devient infiniment grand, 

 on trouve — pourvu que la définition de l'angle ne soit pas changée — pour 

 l'angle a d'une droite avec un cercle variable r : 

 2 R r cos G =: (R + c) (R — c) + r' et par R-|-c=r2 R, R — c = e (distance 



du centre de la droite) et -^ s'anéaiitissant. r cos a =- c ou z cos g =. x{\2l 



droite prise pour l'axe des y) et, finalement, cos g = cotan a, 

 oi^i a l'angle d'inclinaison du plan des points, dont les cercles représen- 

 tants coupent la droite sous l'angle donné g. On retrouve la suite linéaire 

 de cercles comme faisant partie du système plan et le déterminant en cas 

 ([u'elle représente une ligne de pente du plan. L'angle g est réel, zéro ou 



imaginaire, selon que a = 45" . Si l'on restreint la considération du cas 



général sur un plan déterminé passant par l'axe des z ou sur un diamètre 

 déterminé du cercle R, on a pour y = : 



x^ — z^ -\- '2Rz cos (7 = R^ et pour g = ou g = -^ respectivement 



O;^ _ -2 — R (R ^^ 2 z), ce- — Z^= R^ 



Le dernier cas est celui de l'hyperbole équilatérale du centre et de l'axe 

 principal x, représentée par les cercles du faisceau à points limites réels, 

 lesquels coupent le cercle R orthogonalement. Le remplacement de R par 

 R \/a donne x^ — z"^ = — R^ ou, dans le plan des ys y'^ — z'^ = — R*, 

 l'hyperbole équilatérale avec z comme axe principal, représentée par les 

 cercles du faisceau à points fondamentaux réels, lesquels coupent le cercle 

 R dans les extrémités du même diamètre. Il est évident que les rabatte- 

 ments des deux hyperboles x^ — z'^ = R^ et y^ — z'^ = — R^ donnent la 

 même hyperbole x'^ — y'^ = R^ ou y'^ — x"^ = — R^ dans le plan de projection. 

 Soient a\, y^ et x.^, y.^ deux points du rabattement provenant de différentes 

 hyperl)oles de l'espace, on a pour les points d'intersection de leurs cercles 

 représentants x\ ^= K^ -}- y] et y:=: xl — R"; par conséquent, chaque fois 

 x] -\- yl ^= y'i -}- rr^ , c'est-à-dire tous les cercles d'un faisceau sont coupés 

 orthogonalement par ceux de l'autre — faisceau x conjugués d'après le 

 terme usuel. Les décompositions 



(,r -\- y) (X — //) = R- respectivement (y + x) (y — J") = — R* 



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