130 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



montrent immédiatement les relations connues de ces faisceaux aux 

 involutions hyperboliques respectivement elliptiques, qui ont R'^ comme la 

 valeur absolue de leur puissance, etc. 



En rétablissant x^-^- y- au lieu de œ^ ou y', on obtient de y- — 0^ =: — R'^ 

 l'équation de l'hyperboloïde de révolution équilatérale à deux nappes symé- 

 triques par rapport au plan de projection 



a;^ j^ if _ jî— — K\ 



représenté par les cercles du réseau, dont le cercle orthogonal n'est pas 

 réelj ou par les cercles qui coupent le cercle R, représentant les sommets, 

 dans les extrémités de ses diamètres. Cette hyperboloïde, rendue excentri- 

 que par la substitution ^ + ^0 pour z, est la représentation de Fanyle d'in- 

 tersection imaginaire parfaitement d'accord avec les conditions trouvées 

 précédemment dans le cas de R infiniment grand, puisque tous les éléments 

 de surface de l'hyperboloïde à deux nappes ont des angles d'inclinaison 

 a^^S", tandis quêtons les éléments de l'autre a ^^iS" et a = AW correspond 

 au cône asymptotique qui leur est commun. La théorie des axes de simi- 

 litude du système plan n'est donc, sous ce point de vue, qu'un cas spécial 

 de celle de l'angle d'intersection constant. 



Partant de ces fondements simples on obtient, par une application sys- 

 tématique de la méthode de la géométrie descriptive à la construction des 

 points d'intersection et de pénétrations courbes des surfaces, la théorie 

 complète des systèmes de cercles dans un plan et les solutions, par règle cl 

 par compas, de tous les problèmes (jui concernent la détermination de 

 cercles par leurs relations correspondantes à des points, à des droites, à 

 des cercles, etc. On découvre une série de contacts remarquables de ces 

 problèmes entre eux et avec la théorie des sections coniques, qui se déduit 

 avec conséquence de celles du cercle et de l'hyperbole équilatérale. On par- 

 vient encore, par les premiers progrès de la recherche, à la théorie des 

 rayons vecteurs réciproques dans un plan et dans l'espace et à la théorie 

 de la coUinéation centrique ou de l'homologie entre le cercle et les sections 

 coniques, etc., servant à ajouter en manière connue des généralisations aux 

 résultats tirés de chaque progrès suivant de la recherche indiquée. J'ai 

 traité du développement constructif de la méthode dans mes notes : Geo- 

 metrischc Mttheilungen, tome XXIV, n'^^ 3. 4 et 5, avec un supplément 

 tome XXV (p. 217 et 403) de Vierteljahrschrift der Zilrichcr Naturfor- 

 schendcn Gcsdlschaft. J'y suis aussi entré (11° 5) dans les rapports de ses 

 résultats à ceux contenus dans les travaux de l^oncelet, Steiner et Plùcker. 

 J'ajoute que le remplacement de js^ par — ^% c'est-à-dire du point réel par 

 un sommet imaginaire, fouiTiit la représentation des cercles parleurs foyers 

 <lLi'on doit à (>hasles. 



