H. POINr.AHK. — KTUDKS DKS FORMES QUADRATIQUES 185 



nous appellerons roordonnéos liyperlmlicpios du point m^) et, par cons.v 

 queut, la rcduile correspondante. A dia([ue point mj, intérieur au cercle C, 

 correspond donc une réduite de F, et une seule; tpiand le point m^ varie, 

 la réduite reste la même, si m^ ne sort pas d'une certaine région Ro; mais 

 elle varie, si le point m^ dépasse les frontières de cette région. La surface 

 du cercle G va donc se trouver partagée en une infinité de régions telles 

 tjue la réduite ne change pas tant ([ue le pomt m^ reste intérieur à l'une 

 d'elles. Mais le nombre des réduites possibles est fini; il faut donc qu'il y 

 ait une infinité de régions 



Ro. R'o. R"o,etc... 



qui correspondent à une même réduite. Soit n le nombre des réduites 

 distinctes. Soient 



Ro, Rj, R^. . . Rii — 1 



un système de n régions contiguës les unes aux autres et correspondant 

 respectivement à ces n réduites distinctes, ce qu'il est toujours possible 

 de trouver. Soit P l'ensemble de ces régions. Il existera un système de 

 régions 



R'o, R'i R'î.-- R )i — 1 



disposées les unes par rapport aux autres comme l'étaient entre elles 



Ro, Rj, Rg." R(i-i 



et correspondant, respectivement, aux mêmes réduites que ces dernières. 

 Soit P' l'ensemble de ces régions ; on définira de même P", P'"... 



Considérons l'une quelconque de ces régions ; P", par exemple. Il y aura 

 une des substitutions (2) telle que, lorsque Iç point m^ (dont les coordon- 

 nées hyperboliques sont l{, -/11, Q décrit la région P, le point dont les 

 coordonnées hyperboliques sont : 



7.";i + [i"-/ij-f-Y"!;i 



décrive la région P". Oc i)lus, l'on obtiendra de la sorte toutes les substi- 

 tutions (2), de sorte (pie, pour étudier ces substitutions, il suffit d'étu- 

 dier la figure formée par les régions P, P', P". etc. 



