136 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Ici, je vais faire appel à la géométrie non euclidienne ou pseudogéomé- 

 trie. J'écrirai, pour abréger, ps et pst, au lieu de pseudogéométrie et 

 pseudogcométi-ifiuoinent. 



J'appellerai droite ps toute circonférence qui coupe ortliogonalement le 

 cercle C ; distance ps de deux points le demi-logarithme du rapport 

 anharmonique de ces deux points et des points d'intersection du cercle C 

 et de la droite ps qui les joint (compté sur cette droite ps). L'angle ps de 

 deux courbes qui se coupent sera leur angle géométrique. Un polygone ps 

 sera une portion du plan limitée par des droites ps. 



Deux figures seront pst égales s'il existe un système de 9 constantes : 



a f y' 



a (^ Y » 

 telles que 



a^_|. a'^- a"-^ = 1 f^^+ f/*- f'= i f-\- y'^— y"' = — l 

 a[3 4-a'j5'— a"^" = r,y + 7.'y' — ^"y" = O fn + PY — P"t" = O 

 et que, si le point {l^, -r^. Q décrit la première figure, le point 



décrive la seconde de ces figures. 



Cela posé, on reconnaît que ces distances ps, angles ps, droites ps, etc., 

 satisfont aux théorèmes de la géométrie non euclidienne, c'est-à-dire à 

 tous les théorèmes de la géométrie ordinaire, sauf ceux qui sont une con- 

 séquence du postulatum d'Euclide. 



Il résulte de ce qui précède que les régions P, P', P". . . sont pst égales 

 entre elles. On appellera mouvement ps toute opération qui change le 

 point dont les coordonnées hyperboliques sont ^, -/], Ç en un point dont 

 les coordonnées hyperboliques sont des fonctions linéaires de ?, f\, C. Ce 

 mouvement ps sera une rotation s'il conserve un point fixe ; une transla- 

 tion dans le cas contraire. Un mouvement ps sera complètement déter- 

 miné quand on saura qu'il change le point a en o^ et le point b enb^; nous 

 l'appellerons le mouvement (a a^, b by). Il faut, bien entendu, que la dis- 

 tance ps : aj)^ soit égale à la distance ps : nb. Deux figures seront 

 pst égales si l'on peut passer de l'une à l'autre par un mouvementées. 



Supposons que la forme donnée F ne satisfasse pas aux conditions du 

 paragraphe 299 des Disquisitiones arithmeticœ, c'est-à-dire qu'on ne puisse 

 pas l'annuler en y substituant des nombres entiers à la place de x,y,z. 



