II. POINCARK. ÉTUDES DES FORMES QUADRATIQUES 137 



La région P ne s'étendra pas jusqu'à la circonférence du cercle C. En 

 suivant son périmètre dans le sens positif, on côtoiera successivement les 

 régions Pj, P^. . .. Pn- ^oit h, la frontière commune de P et de P; ; soient 

 «i et «i-fi les extrémités de cette frontière; les bi seront les côtés, les 

 0; les sommets de la région P, et, en suivant le périmètre, on rencontrera 

 successivement le sommet o^, le côté 6j, le sommet a^, le côté b^, le som- 

 met «3..., le sommet «„, le côté &„, entin le sommet Un + i, qui n'est 

 autre que le sommet a^. 



C'est pourquoi nous disons que \e côté qui suit le sommet ai est b-,, et 

 que le sommet qui suit b, est 01 + 1. 



Joignons par des droites ps les différents sommets de P, nous obtien- 

 drons un polygone ps Q. Faisons de même pour P', P", etc. ; la surface 

 du cercle C va se trouver divisée en une infinité de polygones ps Q, Q', 

 Q", etc. Ces polygones ps seront pst égaux entre eux, et le mouvement 

 ps, qui change P en P', par exemple, changera Q en Q'. Envisageons le 

 polygone Q, l'un de ses côtés a^ a^, par exemple, et le polygone Q^, qui 

 lui est adjacent le long de a^a^ et qui correspond à la région Pj. Considé- 

 rons le mouvement ps qui change Q en Qj ; le mouvement ps inverse 

 changera Q en une certaine région Qi, adjacente à Qj le long d'un côté 

 ûi cti + i. De deux choses l'une : ou bien Qi différera de Q^. 



Alors les côtés a^a^, «101 + 1 seront homologues, formeront une paire, et 

 le mouvementés, qui change Q en Q^ changera «i en a^ et «i + i en Aj. 



Ou bien Qi ne dittèrera pas de Q^; et alors le mouvement /^.ç, qui change 

 Q en Qi, sera une rotation ps de 180° autour du milieu ps de a^a^. Soit fi 

 ce milieu ; on l'envisagera comme un sommet du polygone Q, de telle 

 façon que ce polygone présente deux côtés consécutifs Uip, pa^, faisant 

 entre eux un angle de 180". Ces deux côtés seront homologues , forme- 

 ront une paire, et le mouvement ps, qui change Q en Q^ changera a^ en a.^ 

 et p en p. 



Donc, grâce à la convention qui précède : 



1° Les côtés du polygone Q se répartissent en paires ; deux côtés d'une 

 même paire sont dits homologues ; 



2° Tout mouvement ps qui change Q en l'un des polygones qui lui 

 sont adjacents change un des côtés en son homologue. 



Quand on connaîtra le polygone Q et la distribution de ses côtés en 

 paires, on connaîtra tous les mouvements ps qui changent Q en Q', Q", etc., 

 et, par conséquent, P en P', P", etc. On connaîtra donc toutes les 

 substitutions (2) et, par conséquent, toutes les substitutions (1). 



Supposons, pour fixer les idées, un quadrilatère aja^ajO^; supposons que 

 Uitt^ soit homologue de o^Qj, et a^a^ de a^a^; les mouvements ps, qui chan- 

 gent Q en Q', Q", etc., seront tous des résultantes des deux mouve- 

 ments (ctia,, a/i^) et {a^af, a^a^). 



