II. BROCARD. — ÉTUDE d'uN NOUVEAU CERCLE DU PLAN DU TRIANGLE 141 



décrits sur les côtés du trianj^le T pour bases et capables des suppléments 

 des angles adjacents. (N. G. il/., t. III, p. 109.) 



Si l'on construit, sur chacun des côtés pour base, des triangles isucèles 

 intérieurs semblables, leurs sommets A'B'C formeront un triangle (jui 

 n'est semblable au premier (et inversement semblable) que dans deux cas : 



1" lorsque l'angle <p à la base des triangles isocèles est nul ; 



2° lorsque cet angle cp est égal à a. 



Dans le premier cas, le cercle circonscrit au triangle A'B'C (formé par 

 les milieux des côtés du triangle donné) est \a cercle dca neuf points ; 

 dans le second, c'est le cercle des sept points. 



Le triangle A'B'C se réduit à un segment de droite lorsque l'angle cp 

 est donné par la relation 



sin(2cp -j- :t)=r:2sin a. 



4. Ces propriétés déjà connues étant rappelées, nous allons poursuivre 

 l'étude du cercle des sept points en partant de sa nouvelle définition. 



Supposons que AB, BC, CA, soient les côtés homologues de figures 

 semblables. 



Les perpendiculaires élevées au milieu de ces côtés sont, homologues 

 et se coupent en un même point H. Ce point H appartient donc à la cir- 

 conférence. 



Le faisceau de ces droites (perpendiculaires aux côtés en leurs milieux) 

 rencontre cette circonférence en trois points Aj, Bj. Cj, qui sont, par con- 

 séquent, trois points fixes et trois points homologues. 



Les trois d.oites ACj, BAj, CBj, sont homologues, comme passant par 

 des points homologues. Par conséquent, elles font un angle égal avec les 

 côtés AB, BC, CA. 



En outre, ces trois droites homologues, passant par les trois points fixes 

 Aj. Bj, Cj, se coupent en un point situé sur la circonférence. 



Un raisonnement analogue s'appliquerait aux droites C^B, AjC, B^A; 

 elles font, par conséquent, un angle égal avec les côtés BA, CB, AC. 



Cet angle est le même pour les deux faisceaux. Nous verrons bientôt 

 qu'il n'est autre que l'angle a. 



Pour les mêmes raisons, les trois droites homologues (\B, AjC, BjA, 

 formant un faisceau, leur point de rencontre 0' se trouve sur la circon- 

 lérence. 



Enfin, en menant par les points fixes A,, Bj. (]j, des parallèles aux côtés 

 BC, AC, AB, on obtient un faisceau de trois nouvelles droites homologues, 

 qui passent donc encore par un même })oint de la circonférence. Il est 

 évident que ce point K ainsi obtenu est diamétralement opposé au point H. 



Ainsi nous retrouvons les sept points situés sur une même circon- 

 férence. 



