142 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



5. 11 serait facile d'étendre indéliniment le nombre des points déter- 

 minés graphiquement. Reprenons, en effet, la définition de cette circon- 

 iérence et observons que cette ligne est le lieu des centres des faisceaux 

 de droites homologues tracées dans trois figures semblables. 



Les trois côtés a, h, c, du triangle donné peuvent être considérés comme 

 trois lignes homologues de trois figures semblables, qui, prises deux à 



1 • -1 .abc 

 deux, auraient pour rapports de similitude ^ , - , - • 



Les triangles isocèles A^BC, C^AB, B^AC, sont semblables; leurs rap- 

 ports de simihtude sont les rapports des côtés du triangle donné. 



Soit AjM une droite quelconque, dans le triangle AiBC. Pour avoir son 

 homologue dans le triangle G, AB, il faudra, évidemment, mener parle 

 point Cl une droite C^M' faisant avec AB un angle C^M'A égal à AjMB. Les 



droites A^M', C^M' se coupent en un point ÏS (]ui appartiendra à la circon- 

 férence. 



Ces droites peuvent être considérées comme de nouvelles positions des 

 côtés GB, BA, de l'angle B^ ; donc elles forment entre elles ce môme angle 

 Bi et la circonférence GjNAj passe par le point K. 



Des considérations analogues s'appliqueraient aux sommets Aj. Bj, et 

 Cj, B,, ce qui prouve que le triangle AjBjGi a ses angles égaux à ceux du 

 triangle proposé et lui est, par conséquent, semblable (bien qu'inver- 

 sement). 



6. Les remarquables propriétés du triangle OHO' se déduisent aisément de 

 ce qui précède. 



Ainsi, les angles OHO', OB^O' sont égaux. Mais OB^O', extérieur au 

 triangle isocèle AB^G, est égal à 2 a. Donc 



L'angle OHO' est égal à 2 a. 



