H. BROCARD. — ÉTUDE d'uN NOUVEAU CERCLE DU PLAN DU TUL\NGLE 143 



Les angles inscrits OHK, OB^K, sont égaux. Mais BjK étant parallèle à 



Fig. 13. 



AC, l'angle OBjK est égal à a, et, comme HK est le diamètre du cercle, on 

 en conclut que 



et que 



HK est perpendiculaire à 00' 



Le triangle OHO' est isocèle. 



On peut encore observer que 



Les perpendiculaires aux milieux des côtés, qui déterminent le centre H 

 du cercle cir cornant au triangle T (ABC), fiont aussi bissectrices extérieures 

 des angles inscrits OC^O', OB^O', OA// ; elles doivent donc se rencontrer en 

 un point H du cercle des sept points. 



7. Passons maintenant à quel([ues relations métriques. 



Nous avons vu (pie, par définition, CiK est parallèle à AB. Ainsi les 

 deux triangles AC^ B, AKB, sont é(piivalents. Donc la somme des surlaces 

 des triangles isocèles semblables 



AC^B, ABjC, CA.B, 



est é(piivalente à celle des surfaces des triangles 



AKB, AKC, CKB ; 



c'est-à-dire à la surface S du triangle donné T (AB(>). 



Or, dans le triangle AC^B, par exemple, la hauteur correspondant à AB 



• AB c ,••.•, 



a pour expression — tg a ou ^ tg a. Amsi, ce triangle a pour surtace 



4 c'- 



-^- -^tg a, et, en vertu de ce qui précède, on doit avoir : 



S = 



a' + />' 



ttf a 



