148 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Enfin il resterait à supposer Fanglc BGA' égal à l'angle C. Dans ce cas, 

 l'angle CBA' est égal à l'angle B ; le triangle BGA' est symétrique du 

 triangle donné, et la ligne AA' est perpendiculaire à BC. 



11. Revenons maintenant à la construction de l'angle a par le point D. 

 Soit I l'intersection de BC avec AD. 



Les deux triangles IBD, lAG sont semblables et, en désignant par 

 a, b', c, les côtés opposés aux. angles A,B,C, du triangle BCD, on a : 



b' = BC = a, 

 et 



IB a' a' a a' a o} 



ÎC"" J~W~T'^'b^b'. 



Ainsi, dans les ligures précédentes (§§ 3, 5 et .6), la ligne AO divise 

 le côté opposé BC proportionnellement aux carrés de ce côté et d'un 



côté adjacent, y- pour la ligne AO, — pour la ligne AO'. 



On en déduit diverses conséquences. 



Les triangles ABI, ACI, sont entre eux comme leurs surfaces. Donc: 



ABI __ AB. Alsin (A — g ) _ c sin (A — a ) 

 ACI AC. AI sin a b sin a 



Mais ces triangles ont même hauteur, ils sont donc aussi entre eux 

 comme leurs bases IB, IC. Or on a : 



IB _ a; 



iC ~ b'' 



Ainsi, 



c sin (A — g) __ a- 

 b sin g b- 



sin (A — g ) _ à- b _ a^ 

 sin g b' c abc' 



On aurait, de même: 



sin (B — g ) _ b^ 

 sin g abc^ 



sin (C — g) c"* 



sin g abc' 



