BROCARD. — F:TUDE d'uN NOUVEAU CERCLE DU PLAN DU TRIANGLE 149 



Ces trois relations, du preinier doi-ro en a, donneraient, par exeniplt". 

 sin^ A -\- sin K sin C cos A 



Cotar= 



sin A sin B sin G 



On en déduirait les identités : 



sin^\-j-sinBsin CcosA:=sin'B-fsinAsinCcosB=:sinTH- sinAsinB cosC 

 dont la valeur commune est 



1 — cos '^A -]- sin B sin C cos A , 

 ou 



i v^ 



1 -[- cos A cos B cos ^^ = a \, sin -A . 



12. Létude des diverses transformations des équations qui donnent la 

 valeur de cet a m'a conduit à plusieurs formules d'identités trigonomé- 

 triques, dont la démonstration est indiquée dans la Nouvelle Correspon- 

 dancc ma Ihêma tique. Je ne ferai que rappeler les plus curieuses, qui 

 sont, en dernière analyse, des conséquences de l'identité 



tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C. 

 Voici ces formules : 



sin^A cos B — sin^B cos A sin^B cos C — sin^'C cos B 



sin(A — B) sin (B — C) ~ 



sin'A cos C — sin^C cos A 



sin (A — C) 



sin^A sin (B — C) + sin='B sin (C — A) -1- sin^C sin (A — B) =0 



sin 2 A _ sin 2 B _ sin 2 C 



tg B + tg C - tg A + tg C - t"^- A + tg B' 



V sin'A sin B cos C — ^^ sin '^A sin C cos ^ =^ ^ ^^ sin'A. 



Par multiplication des formules ('tal)]ies précédemment, on obtiendrait 

 aussi l'écjuation 



sin (A — a) sin ( B — a) sin ( C — =>'-) = sin'''a, 



qui est du troisième degré, mais qui n'admet pour racine réelle (|ue 



