154 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



glesT et Tj. Nous allons maintenant établir la notion d'un nouveau triangle 

 Tj, qui jouit aussi de propriétés fort intéressantes. 



Les sommets de ce triangle T^ sont les points doubles correspondant, 

 respectivement, aux groupes des deux côtés du triangle T, savoir : 



(Jn a donc, par ce fait : 



Mais, dans le triangle A,B,C,, l'on a: 



CjBj a 

 Donc, 



(il ^ H' ""'' ^^^^- ^'^^^ "= ^'^^- ^'^'- 



Multiplions par les sinus égaux des angles supplémentaires. (\XC.^ et 

 CjBC,, nous aurons : 



aire AjC/lj = aire Bfifi^. 



17. Les points C^.A^, Bj, peuvent encore être définis géométriquement 

 d'une autre manière. Ils résultent de l'intersection du cercle des sept 

 points avec les arcs de cercle passant par le point H et les groupes (A, B) 

 (B,C)(A,C). 



En effet, d'après la propriété du point double Cj, par exemple, les deux 

 triangles C^ACjCjBC, doivent être semblables. Or, l'angle AHB, inscrit 

 dans le cercle ACj HB, est égal au double de l'angle C, parce que H est le 

 centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Au point Q on a donc : 



xVC^B^a.C. 



Mais les deux triangles ACC^ BCC^ devant être semblables, on a. en 

 désignant par 0, et 0^ les angles en C : 



et, par conséquent, l'angle extérieur en C^ est égal à (ôj + O.J — (Oi + OJ 



