158 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



il est clair que IJ est parallèle à AB, et que I et J sont symétriques par 

 rapport à la perpendiculaire HM à AB en son milieu M. Mais Cg et I sont 

 symétriques par rapport à AB : ainsi les points Cg, M, et J sont en ligne 

 droite, et M est le milieu de C3J. 



Considéi-ons maintenant le triangle iCfi. Ses médianes se coupent en un 

 même point, situé, par exemple, sur la médiane C3C2 et sur la médiane CM. 

 Or, celle-ci appai-tient au triangle T. Ainsi, 



Le centre d'homoloyie des triangles T^ et T.„ qui. est le centre de gravité 

 E du triangle Tj. est aussi le centre de gravité du triangle T. 



Corollaire. — Joignons C^E et prolongeons cette ligne, à partir du point 

 E, d'une longueur double. Nous aurons évidemment le point C3. Il en résulte 

 une construction plus simple et immédiate des nouveaux points A.3,Bg,C3, 

 homologues aux points doubles A5,B2,C2. Ainsi les deux triangles T., et 

 T, sont bomotbétiqucs : leur centre d'homothétie est le point E, et leur 



. ... , 1 



rapport de similitude ^. 



19. Nous avons dit (55 15) que les points segmentaires et 0' et le point 

 D, centre d'iiomologie des triangles ï et T^, forment un triangle DOC qui 

 admet le même centre de gravité que les triangles T et T^. 



On en conclut <[ue 



E est le centre de gravité, 



D le point de rencontre des hauteurs, 



S le centre du cercle circonscrit. 



correspondant à un triangle T^ dont un des côtés est G. Ce triangle T^^tst 

 facile à déterminer. Il suffit d'observer que le point S , projection de S 

 sur G, est le milieu de B^C,, et que le sommet A^ se trouve sur la perpen- 

 diculaire DD' à G, et à l'intersection de SIE avec DD'. Du point S comme 

 centie, avec SA, comme rayon, on décrit une circonférence qui rencontre 

 G aux points B^ et C,. 



20. Si par les points (0,A,B) (0,B,C) (0,C,A) on fait passer trois cer- 

 cles dont on désigne les centres par Yi,ai,6j, le triangle c^ip^y^ a pour un 

 de ses points segmentaires le point H, centre du cercle circonscrit à ABC. 



De même, si l'on circonscrit des cercles aux triangles (O'AB), (O'BC), 

 (O'CA), les centres y^^^J.^,^^, de ces cercles formeront un triangle ayant 

 aussi le point H pour un de ses points segmentaires. 



Les triangles aip^yi. ^/S^^^ ^^^' ^^nt semblables. 



Les deux triangles c.,f^iYi.x,[î,y,„ sont homologiques. Leur centre d'homo- 

 logie est le point H. 



On déduit de là une construction très simple des points et 0'. 



On voit aussi (jue le point H est également distant des points et 0'. 



