UROCARO. — ÉTUDE DUN NOUVEAU CERCLE DU PLAN DU TRIANGLE 159 



Ces intéressantes propriétés m'ont été communiquées par M. Dewult'. 



!21. Les lignes qui joignent les sommets du triangle ABC aux points 

 segmentaires et 0' déterminent sur les côtés opposés deux systèmes de 

 trois points, qui sont les sommets de deux triangles, inégaux et dissem- 

 blables, mais équivalents. Le rapport de leur surface à celle du triangle 

 donné a pour expression 



2 sin*a 



1 -f cos"^ a-(- 2 cos Acos B cos C ' 



comme je Tai établi dans la Nouvelle Correspondance mathéma- 

 tique {i.W, p. 20). 



Les points et 0' sont réciproques l'un à l'autre. Ce genre de récipro- 

 cité, signalé déjà, consiste en ce que les droites O'A, O'B, O'C, sont symé- 

 triques des droites OA,OB,OC, par rapport aux bissectrices du triangle. 



Cette transformation, appliquée à un point quelconque M du plan du 

 triangle, donne ainsi un autre point uni(pie M', qui est, en réalité, Yar- 

 guésien du premier. Cette remarque m'a été signalée par M. Neuberg. 



Parmi ces points réciproques, il est intéressant de signaler le point K, 

 centre d'homologie (§1") des triangles T et T.^. 



Le point R est l'arguésien du point E. centre de gravité du triangle T. 

 Il représente, par conséquent, le centre des médianes antiparallèles du 

 triangle donné. 



Les distances du point K aux trois côtés sont proportionnelles aux lon- 

 gueurs de ces côtés. Enfm, — autre propriété connue, — la somme des 

 carrés des distances de ce point aux côtés du triangle est minimum. 



22. Ces développements, que je crois devoir arrêter ici, donneront sans 

 doute une idée nette des principales propriétés du cercle des sept points 

 et des triangles qui lui sont associés. 



Je serai heureux d'avoir provoqué la curiosité vers ces études, aux- 

 quelles ont bien voulu s'intéresser plusieurs géomètres français et étrangers. 

 Mes savants collaborateurs et amis ont tous insisté pour me prier de pren- 

 dre, en mon nom personnel, les résultats de leurs recherches. Je les ai 

 indiqués ici, mais qu'il me soit permis, au moins, de rapporter le mérite 

 de plusieurs de ces résultats à MM. Neuberg, Dewulf, et surtout à un de 

 mes amis dévoués, M. G. Tarry, à Alger. 



Ces diverses propriétés commencent aussi a être coimues en Allemagne, 

 grâce au bienveillant concours de M^ Gûnthei", à Ansbacli, et de M.Lieber^ 

 à Stettin. 



