160 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



M. A.-E. PELLET 



Professeur à la Faenllé do Clprniont-Feri'iind. 



EXEMPLES D'ÉQUATIONS NUMÉRIQUES NON RÉSOLUBLES PAR RADICAUX 



— Si'anre du 16 arril 1SHI. — 



On sait depuis longtemps que l'équation générale d'un degré supérieur 

 au ¥ n'est pas résoluble par radicaux ; mais il n'en a pas été donné, que 

 je sache, d'exemples numériques. On peut facilement arriver à en former 

 à l'aide du théorème suivant, que j'ai démontré dans les Comptes rendus 

 de l'Académie des sciences (séance du 24 mars, 1879): «Le degré de l'équa- 

 tion résolvante d'une équation numérique donnée est un multiple des 

 degrés des divers facteurs irréductibles en lesquels son premier membre 

 se décompose suivant un module premier quelconque. » 



I. L'équation x^ — (m. 30 -f 1) a? -f </ = 0, où ïn est un nombre entier 

 quelconque, et g un nombre impair non divisible par 15, est irréductible 

 et non résoluble par radicaux. 



Suivant le module premier 2, elle se réduit à la congruence x^ — a? -)- 1 ^ 

 (mod. 2), qui n"a pas de racine entière, car son premier membre se 

 réduit à Ipoura-^l. / désignant une racine de x^A^xA^y ^0(mod.2), 

 i^ ^ 1 et r" ^ P ; P -|- ^ -j- 1 est donc congru à 0, et œ^ + a:; + 1 admet sui- 

 vant le module 2 le facteur du second degré x"' ^ x-\-\, et un autre du 

 3"^ degré. 



Suivant le module 3. si g n'est pas divisible par 3, on a : a"' — 

 {m. 30+1) '^ -h g^x^ — .r dz 1 ; cette fonction n'étan^t pas nulle pour 

 ce = 1 , ou j? == — 1 , elle n'admet pas de facteur du premier degré (mod. 3). 

 Si elle admettait un facteur du second degré (mod. 3). elle devrait 

 s'annuler pour une racine de x^ — \^{x''-\-\) (j;--fl) {x"^ — 1)^0. 

 Or, pour une racine de x' -\- i ^s 0, x"* — x ± i^ — 2 .r ±1, qui ne 

 saurait être congru à 0, x' -{- 1 n'ayant pas de racine entière ; pour une 

 racine de œ'^ + ^ ^ 0? ^' — x±\^±\' {. N'admettant pas de facteur du 

 premier et du second degré, x^ — x±i est irréductible mod. 3. 



Si ^ est divisible par 3, il ne l'est pas par 5 par hypothèse; et x^ — ^^9 

 est irréductible mod. 5 (Serret. Alg. stip., p. 162). Ainsi x' — (?«.30-hi) 

 X -^ g est irréductible algébriquement, et le degré de son équation résol- 

 vante est un multiple 3. Or, si elle était résoluble par radicaux, le degré 

 de son équation résolvante serait 20, ou un diviseur de 20, d'après le 

 théorème de Gallois. 



