PELLET. — EXEMPLES d'ÉQUAÏIONS NUMÉRIQUES NON RÉSOLUBLES 161 



II. L'équation x^ — {"i mp -{- \)x-{-g:=0 oii m est un entier quel- 

 conque, g un nombre impair non divisible par p, p étant un nombre pre- 

 mier tel que p — 1 soit une puissance de 2, est irréductible et non 

 résoluble si p > 3. 



En efïet, son premier nombre est irréductible module p ; et, suivant le 

 module 2, il se réduit à x^ — x-\-l, qui n'admet pas de facteur du 

 premier degré et qui admet le facteur du second de'^ré x^ -\- x -\- i ; il 

 doit donc admettre, suivant le module 2, un facteur de degré impair, supé- 

 rieur à 1, ([ui ne divise pas p — 1. 



p — 1 est une puissance paire de 2 , car, autrement, p serait divisible 

 par 3 ; ainsi j? = w. 3-)-2. i étant racine de x'^ -{- x -{- 1 ^ (mod. 2), 

 M' — i-f-1 ^^^-|-^■-f-l ^0; c'est pourquoi x--}-x-\-i divise (mod. 2) 

 xv — x-\-i. 



III. L'équation x'^ — {6 m -{- i) x -\- 6 m^^rz i = 0, où m et m^ sont des 

 entiers arbitraires, est irréductible algébriquement et non résoluI>k'. 



On voit facilement que x'' -{-x-\-i n'admet pas de facteur du premier 

 rt du second degré (mod. 2), ne s'annulant pour aucune racine de 

 ./;" — 1 ^0 (mod. 2). Cette fonction n'admet pas, non plus, de facteur du 

 3* degré (mod. 2). Elle est donc irréductible mod. 2. 



La fonction x' — x-{-i n'admet pas de facteur du premier degré 

 (mod. 3) ; pour une racine i de la congruence x^ — 1 ^0 (mod. 3), elle se 



/' — / — 1 



réduit à — -. -; x^ — x — 1 est un diviseur irréductible de .r' — i 



(mod. 3); donc x? — cc + 1 admet un facteur irréductible du second degré 



(mod. 3); et le quotient \^^,_^_ ■ du 5^ degré, étant premier avec x^ — 1, 



est irréductible. 5 n'étant pas un diviseur de 7.6 = 42, ré(}uation.x' — 

 (6 m -f 1) j- -}- 6 m^ -f- 1 = n'est pas résoluble par radicaux. En changeant 

 X en — X, on obtient x' — (6 m + 1 ) j? -f 6 m^ — 1=0. 



IV. j3 étant un nombre premier, q^ un facteur premier de ^j — 1, sip — î 

 n'est pas divisible par q^—l, l'équation xv — (m p.q-{- 1) x^qm^ = est 

 irréductible et non résoluble algébriquement; m représente un entier quel- 

 conque, m^ un entier non divisible par p, et q un nombre premier racine 

 primitive de (/j. On sait, d'après un théorème de Lejeune-Diriclilet, ((ue, q^ 

 étant donné, il y a une infinité de nombres q. On suppose (pie q ne divise 

 pas p — 1 . 



En effet, suivant le module p, le premier membre de l'efpiatiou consi- 



dt'rée est irréductible. Suivant le module q, il se réduit à x \.r'^-^ l); 



p'' — 1 ndmct, suivant le module fy,^^^^^- ^facteurs irréchictihles de 



degré n, exposant auquel appartient 7 relativement k p — ] ■ q" — 1 est donc 



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