168 MATHÉMATIQUES, ASTIIONOMIE, GKODKSIE, MÉCANIQUE 



Les surfaces sphériques, à courbure constante dans tous les sens et en 

 tous leurs points, sont superposahles dans toutes leurs parties, mais sur 

 une seule face seulement, ne satisfaisant pas à la définition ci-dessus qui 

 exige, pour faire coïncider les deux moitiés de l'espace divisé par le plan, 

 que l'on fasse coïncider sa face inférieure dans la première position avec 

 sa face supérieure dans la seconde. Quant à la coïncidence du plan avec 

 lui-même, lorsqu'on fait glisser l'une de ses faces sur elle-même, au lieu 

 de retourner l'une sur l'autre les deux faces opposées, c'est une consé- 

 quence de l'identité de l'espace en tous ses points. 



12. La ligne droite est la courbe qui divise le plan en deux paities in- 

 finies identiques. La coïncidence de deux points de deux droites entraine 

 la coïncidence complète de celles-ci. 



Deux plans se coupent suivant une droite; car les deux portions de 

 chaque plan sont identiques. 11 en est de même de toutes les parties de 

 l'intersection, qui doivent être identiques et superposables dans les deux 

 sens. 



La ligne droite, par son identité dans toutes ses parties, donne l'idée la 

 plus nette de la direction qui ne varie point. 



13. La ligne droite est le plus court chemin d\in point à un autre. 



Cette propriété de la ligne droite ne saurait, logiquement, être accejjtée 

 comme sa définition, ainsi qu'on a coutume de faire dans les ouvrages 

 didactiques; elle constitue un vrai théorème dont la démonstration, en 

 partant de la définition ci-dessus, que nous voudrions voir adopter, n'est 

 ni longue, m délicate. 



1-4. Des angles. — Leuu mesure. — La ligne droite a donné l'idée de 

 direction. La différence de direction de deux droites portera le nom 

 d'angle. 



Si deux droites se coupent, elles définissent un plan et forment un angle 

 dans ce plan. Considérons l'une des deux portions infinies du plan com- 

 prise entre ces deux droites, à partir de leur point d'intersection, opposées 

 l'une à l'autre par le sommet, égales et superposables entre elles comme 

 résultant de la suppression à un demi-plan d'une même quantité; cette 

 surface, tout infinie qu'elle soit, variera proportionnellement à l'angle, 

 puisque, pour une série d'angles superposables, les surfaces infinies 

 planes correspondantes le sont aussi. 



La surface angulaire plane infinie, comprise entre les côtés de l'angle, 

 peut donc être prise pour mesure de celui-ci. 11 en serait de même, par 

 exemple : 



1° De l'arc de cercle décrit d'un rayon constant du sommet de l'angle 

 et compris entre ses côtés ; 



