A.-K. PKLLET. — SUR LES TÉTRAÈDRES 171 



ij' J- V y^' z ^- d ^ t = 0\ et 011 voit aisônicrit (pie le rapport de la dis- 



tance d'un point quelconque M au premier plan, à la distance du point 

 M', correspondant au point M, au second plan, est constant. Si donc on 

 rapporte les points de la première figure à trois points quelconques, et 

 ceux de la seconde figure aux trois plans correspondants, les coordonnées 

 de même nom seront dans un rapport constant ; ainsi, x, tj, z étant les 

 (coordonnées du point M, celles du point M' sont : 



X' = KX, Y' = Kl Y, Z' = KjZ (K, Ki, K^ étant des constantes). 



A une surface (S) du second degré appartenant à la première ligure 

 correspond, dans la seconde, une surface (S'), également du second degré, 

 et au centre de la première correspond le centre 0' de la seconde ; à 

 trois plans diamétraux conjugués de la surface (S) correspondent trois 

 plans diamétraux conjugués de la surface (S'). 



Supposons que (S) soit une sphère; aux trois plans principaux de S' 

 correspondent trois plans rectangulaires, diamétraux conjugués de (S). Si 

 on rapporte les points de la première figure à ces derniers plans, et ceux 

 de la seconde aux plans principaux de S', les coordonnées de même nom 

 étant celles qui se correspondent, puis si on transporte l'une des figures 

 sur l'autre, de manière que les axes coordonnés coïncident, on aura 

 satisfait aux conditions de l'énoncé. 



Désignons par Xi,\ji. z-, les coordonnées d'un des sommets du tétraèdre 

 ABGD, i étant 1 pour A, '2 pour B. 3 pour G, 4 pour D ; les coordonnées 

 du sommet correspondant de A'B'C'D' seront \\x,, \s!y,, K"Zi, K, K', R", 

 ayant les mêmes valeurs pour les quatre sommets. 



2. Cela posé, cherchons les couples de points M, M', tels que : 

 MA = M'A' ; MB = M'B' ; MC = M'C ; MD = M'D'. x, y, z. étant les 

 coordonnées du point M, x, y', z', celles du point M', on est conduit à 

 ([uatre équations, qu'on obtient de la suivante, en donnant à ^ les valeurs 

 1,2,3,4: 



^■' + 2/' + "■' — -ï"'' — y"' — -'' — ^'^i l-^' — ^■^) — %i (y -— ï^'y'-' 



— 2^i (2 — K" z.') + X,' (1 — R^j -f- y^" (1 — R'^j + z,' (1 — R'"^) = 0. 



Considérons dans ces équations x'^ -^ y^ -j- z"^ — x''^ — y'^ — z"\x — \ix', 

 Il — K'y'^ z — li"z' comme étant des inconnues ; elles sont alors du 

 premier degré, et le déterminant des inconnues est, à un facteur numé- 

 rique près, égal au volume du tétraèdre ABGD. Supposons ces équations 

 résolues et soient : 



X — lix =: a. î/ — li'y' ^~ p, z — l\"z' = y, 



X^ 4-1/^4- z' — x^ — ?/- — z'^ = u. 



