174 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCAMQUE 



Et on a : 



rt'2 _ «2 ^ f^'2 _ ly-i _ ^.'2 _ gî ^ _ ^<_ 



Les surfaces S et S' sont donc homofocales ; comme d'ailleurs : 

 -7 r= K, -TT = K', — = R", les points M et M' sont deux points corres- 

 pondant sur ces surfaces, suivant le mode d'Ivory, c'est-à-dire sont à 

 l'intersection de ces deux surfaces avec une même courbe d'intersection 

 de deux autres surfaces homofocales variables. 11 en est de même des 

 points E et E' ; seulement E est sur S' et E sur S. 



Si R" =: 1, K et R' étant différents de 1, on pourrait disposer les tétraè- 

 dres de manière que a et [3 soient nuls, et on vérifierait les propositions 

 précédentes, relativement aux surfaces qui sont alors des paraboloïdes, et 

 par rapport aux couples de points M, M' et E, E'. Si K" = R' = 1, il suffi- 

 rait de disposer les tétraèdres de manière que a soit nul ; puis, comme 

 aussi dans le cas précédent, de transporter l'un d'eux parallèlement au 

 plan des ijz, d'un mouvement de translation. 



5. L'analyse qui précède démontre aussi le théorème suivant, énoncé, 

 pour la première fois, par Jacobi. 



Les deux tétraèdres ABCD, A'B'C'D' peuvent toujours être placés de 

 manière que les points A, A' ; B, B' ; G, C ; D, D' soient correspondants 

 suivant le mode d'Ivory, sur deux surfaces homofocales du second degré 

 de même espèce. 



Les propositions qui font l'objet de cette note ont été démontrées de 

 plusieurs manières, par M. Darboux, dans son Mémoire sur les Théorèmes 

 d'Ivory. 



L'équation du troisième degré, dont M. Darboux fait dépendre, dans tous 

 les cas, la solution du problème, n'est autre ici que celle dont dépend la 

 recherche des axes principaux d'une surface du second degré ; ce qui rend 

 immédiate et presque intuitive la solution du problème. Nous avons pensé 

 que, à ce point de vue, il n'était pas inutile de la publier. 



