E. LEMOINE. — FIGURES QUI PEUVENT SK TRAOEK d'uN SEUL TRAIT 175 



M. Emile LEMOIM 



Ancien élève du l'École potylechnique. 



QUELQUES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE DE POSITION SUR LES FIGURES QUI PEUVENT 

 SE TRACER D'UN SEUL TRAIT 



— Séance du 1S avril ISSI. — 

 I. THÉORÈME 



Étant donnés, dans le plan ou dans l'espace, un certain nombre dépeints 

 rejoints entre eux d'une façon quelconque par des chemins quelconques, 

 que nous appellerons simplement des lignes, le nombre de points où abou- 

 tit un nombre impair de lignes est toujours un nombre pair. 

 Le système peut être formé d'un seul chemin avec deux extrémités, ou 

 d'un seul chemin fermé, ou de plusieurs chemins séparés; l'extrémité d'un 

 chemin étant toujours en un des points considérés. 



J'appellerai un point point pair ou point impair, suivant qu'un nombre 

 pair ou qu'un nombre impair de lignes aboutira à ce point. 



J'enlève dans le système une ligne quelconque joignant deux points et 

 ne rencontrant pas d'autres points du système entre les deux considérés; 

 si la ligne joignait deux points pairs, ils deviennent tous deux des points 

 impairs; si la ligne joignait deux points impairs, ils deviennent tous deux 

 des points pairs ; si la ligne joint un point pair à un point impair, celui 

 qui était pair devient impair et celui qui était impair devient pair ; mais, 

 dans ces trois cas, les seuls qui puissent se présenter, Va parité An nombre 

 des points impairs ne change pas. c'ost-à-dire qu'elle reste paire ou 

 imi)aire selon qu'elle était paire ou impaire avant l'enlèvement de la ligne 

 considérée; je peux donc enlever successivement autant de lignes du sys- 

 tème que je voudrai sans changer la parité du nombre des points impairs 

 restants. Or, quand j'aurai enlevé toutes les lignes du système, sauf une, il 

 ne restera que les deux extrémités de cette ligne, c'est-à-dire deux points 

 impairs. Le nombre des points impairs du système primitif était donc un 

 nombre pair. — C. Q. F. D. 



Remarque. Le même raisonnement ne s'applique pas aux points pairs, 

 parce que, lorsque l'on enlève une ligne qui aboutit à un point d'où ne par- 

 tent pas d'autres lignes, il y a à ce point un point impair qui n'est pas 

 remplacé par un point pair, mais qui disparait; aussi le noml)re des points 

 pairs peut être impair. 



