176 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Nous dirons qu'un système de lignes ou de chemins rejoignant des 

 points déterminés est continu quand un mobile, placé en un de ces points. 

 peut arriver à tous les autres sans quitter les lignes du système; le 

 mobile ne pouvant changer de ligne qu'aux points du système, et non aux 

 intersections fortuites des lignes entre elles. 



Nous dirons qu'un système continu de lignes forme une chaîne quand 

 un mobile peut parcourir toutes les lignes du système sans passer deux 

 fois par la même ligne. La chaîne sera fermée ou ouverte, selon qu'elle 

 se terminera, ou non, au point de départ. 



THÉORÈME II 



Si un système continu à points pairs forme une chaîne : 1° ce sera une 

 chaîne fermée; 2° on pourra la former en partant d'un point quelconque 

 du système. 



Supposons que la chame soit formée en partant du point A ; dans le 

 parcours de la chaîne, le mobile passera successivement par toutes les 

 lignes aboutissant en A et il y passera alternativement, en s'éloignant 

 de A et en s'en rapprochant. Or, par hypothèse, il y a un nomi)re pair de 

 lignes aboutissant en A et le mobile a parcouru la première de ces lignes 

 en s'éloignant de A; la seconde, évidemment, en s'en rapprochant, la troi- 

 sième en s'en éloignant de nouveau, etc., et, par suite, la dernière (qui a un 

 rang pair par hypothèse), en se rapprochant de A. Le mobile s'arrêtera 

 donc au point A, puisqu'il vient de cheminer sur la dernière ligne non 

 parcourue et aboutissant en A. La chaîne sera donc fermée en A. Je dis 

 que je pourrai également former une chaîne fermée en partant d'un point 

 quelconque B du système. En effet, considérons la chaîne fermée en par- 

 tant de A et divisons-la en :2 parties : 1° cehe qui part de A et se rend en 

 B en y passant pour la première fois; 2° le reste delà chaîne qui part de 

 B pour, finalement, se terminer en A. Il est évident que, en partant de B et 

 cheminant d'abord sur cette deuxième partie, je compléterai la chaîne 

 fermée en allant de A on B sur la première partie. 



THÉORÈME III 



Quand on peut former une chaîne avec un système continu contenant des 

 points impairs, il ne peut y en avoir que deux et la chaîne ne peut partir 

 que de l'un pour se terminer à l'autre. 



Supposons la chaîne formée en partant d'un point pair A ; le môme rai- 

 sonnement que précédemment prouve que la chaîne doit se fermer en A. 

 Soit B un point impair ; comme nous devons évidemment passer par 

 toutes les lignes qui aboutissent en B et que nous arrivons en B la pre- 



