E. LEMOINE. — FK.LUES QUI PEUVENT SE TRACER d'uN SEUL TRAIT 177 



raière fois que nous y passons, nous \ arriverons encore*la S*', la S'', etc., 

 enfin la dernière et nous nous arrêterons alors en B, puisqu'il n'y a 

 plus de chemin non parcouru partant de B. 11 faudrait donc que la ciiaine 

 soit ouverte et commence en A pour finir en B, ce (jui n'est pas, puisque 

 nous savons que la chaîne est fermée et doit se terminer en A. Ainsi l'on 

 ne peut partir d'un point pair. 



Si l'on part d'un point impair, ce ne peut être une chaîne fermée en ce 

 point, puisque, la dernière fois que l'on passe en ce point, c'est pour s'en 

 éloigner ; cette chaîne ouverte ne peut se terminer en un point pair, puis- 

 que la dernière ligne que l'on parcourt qui aboutit à ce point pair, c'est en 

 s'en éloignant ; on voit, au contraire, (pie la chaîne doit se terminer à tout 

 autre point impair que l'on rencontre; il ne peut donc pas y avoir de 

 chaîne, s'il y a plus de deux points impairs dans le système. On voit, par 

 suite, que, s'il y a une chaîne dans un système continu contenant des 

 points impairs : 



1" // n'y a que 2 points impairs dajis le système ; 

 2" C'est une chaîne ouverte qui commence à l'un et finit à l'autre. 

 Nous venons d'établir les conditions nécessaires pour que l'on puisse 

 former une chaîne avec un système continu ; nous allons montrer que ces 

 conditions sont suffisantes. 



Remarque. Plusieurs chaînes fermées, distinctes, ayant un point com- 

 mun, peuvent être considérées comme n'en formant qu'une seule ; il en 

 sera de même de plusieurs chaînes fermées venant en rencontrer une 

 autre en des points différents, et enfin, par suite : 



1" D'un système de chaînes fermées reliées entre elles, chacune avec une 

 ou plusieurs autres par un point ; 



2° D'un système de chaînes reliées entre elles, chacune avec une ou plu- 

 sieurs autres par un point et dont une seule est ouverte; dans ce cas, la 

 chaîne résultante est ouverte et ouverte, aux mêmes points que la chaîne 

 ouverte du système. 



THÉORÏÎME IV 



Avec tout système a points pairs on peut former une chaîne fermée. 



Supposons que le mobile parte de A, point quelcoiuiue du système, et 

 prenne un chemin (pielconque en suivant les lignes du système; je dis 

 qu'il pourra toujours suivre une certaine chaîne formant partie du système 

 et le ramenant en A. Si le mobile, en suivant sa route, ne repasse jamais 

 par un même sommet et qu'il ait suivi toutes les lignes du système, moins 

 une, il est évident qu'il parcourra la dernière en revenant au point A et 

 que le système n'est composé que de points pairs oij se croisent deux 



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