178 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE^ MÉCANIQUE 



lignes seulement ; tel, par exemple, le contour d'un polygone fermé. Si ce 

 cas ne se présente pas, soit B le premier point où le mobile passe une 

 seconde fois, il existe donc une certaine chaîne fermée en B et formée avec 

 des droites du système ; je retranche virtuellement cette chaîne partielle du 

 système considéré, il reste soit un système continu à pohits pairs, soit 

 |)lusieurs systèmes continus à points pairs, car la chaîne que j'ai enlevée a 

 pu retrancher certaines lignes qui unissaient en un seul système continu 

 deux ou plusieurs systèmes continus, isolés maintenant les uns des autres. 



L'un de ces systèmes contiendra en même temps le point A et le point B, 

 le mobile continuant, dans ce système, la route ([ui l'a amené de A en B ; 

 ou bien il suivra toutes les lignes restantes de ce système, moins une, sans 

 repasser par un point où il est déjà passé, et alors la dernière le ramènera 

 en A; ou bien il passera pour la seconde fois en C, par exemple; là se fer- 

 mera, par conséquent, une chaîne que j'enlèverai de nouveau virtuellement. 

 1/enlèvement de cette chaîne pourra isoler encore un certain nombre de 

 systèmes continus à points pairs, mais il restera toujours un système con- 

 tinu à points pairs contenant A et C, B pouvant ne plus faire partie de ce 

 système restant. Le mobile continuera sa route sur ce nouveau système et 

 arrivera en A ou bien formera, en un certain point, une nouvelle chaîne 

 fermée que j'enlèverai encore, etc. ; en continuant ainsi, le mobile arrivera 

 certainement en A, puisque le noml)re des lignes du système primitif est 

 Uni. J'enlèverai alors la chaîne fermée en A. Dans un des systèmes conti- 

 nus restants, je pars d'un point quelconque de l'un d'eux et je commence 

 mie chaîne que j'enlève dès qu'elle se ferme, etc., etc. 



J'arriverai ainsi à décomposer le système primitif en une série de chaînes 

 fermées, évidemment reliées les unes aux autres, puisque chaque chaîne 

 enlevée se rattache à un système faisant partie du système primitif qui est 

 continu par hypothèse. Cette série de chaînes reliées les unes aux autres 

 peut, d'après la remarque que nous avons faite ci-dessus, être considérée 

 comme une cliaîne unique ; le théorème est donc démontré. 



Remarquons que. en appliquant à un système donné le procédé de 

 décomposition qui nous a servi pour la démonstration, on trouve préci- 

 sément, de la façon la plus simple, le chemin qu'il faut prendre pour 

 f(M-mer une chaîne avec toutes les lignes du système. 



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THÉORÈME V 



Avec tout système continu ne contenant que deux points impairs, on peut 

 former une chaîne qui commence li l'un et finit à Vautre. 



Soient A et B les deux points impairs du système. Joignons ces deux 

 points par une ligne quelconque, le système deviendra par là un système 

 continu à points pairs, avec lequel on peut former une chaîne fermée en B 



