E. LEMOINE. — FIGURES QUI PEUVENT SE TRACER d'uN SEUL TRAIT 179 



et comprenant la ligne joignant A et B. Il est évident que, en retranchant 

 cette ligne, il restera une chaîne ouverte ayant A et Bpour extrémités ; car 

 si, pour former la cliaine fermée partant de B, on prend comme première 

 ligne de parcours la ligne BA, la chaîne fermée se terminant en B, la 

 chaîne ouverte, qui sera la chaîne fermée dont on aura enlevé la ligne BA, 

 commencera en A pour hnir en B. — C. Q. F. D. 



THÉORÈME VI 



Tout système continu contenant 2 N points impairs peu être ramené 

 à N chaînes distinctes, mais pas à moins de N. 



Supposons que nous puissions former moins de N chaînes, il y en aurait 

 au moins une qui contiendrait plus de 2 points impairs, ce qui est impos- 

 sible. Je dis qu'on peut n'en avoir que N. 



vSupposons que le théorème soit vrai pour les systèmes continus formés 

 (le moins de '2 N points impairs, je dis qu'il est vrai pour un système con- 

 tinu en contenants N. Supposons, en effet, que le mobile parte d'un point 

 impair (pielconque et chemine au hasard sur les lignes du système, sans 

 passer deux fois par la même ligne, je puis voir qu'il finira par rencontrer 

 un autre point impair; car, s'il est ramené une ou plusieurs fois en A sans 

 avoir rencontré de point impair, il pourra toujours en repartir sur une ligne 

 non encore parcourue, puisque A est impair. Soit B le point oîi s'arrête la 

 chaîne, c'est-à-dire le point où, pour la première fois, le mobile ne peut 

 prendre une ligne non encore parcourue : ce point est impair, en effet, 

 chaque fois que le mobile a passé en B ; s'il y a déjà passé, il a passé par 

 :2 lignes, celle qui amène le mobile en B et celle qui Feu éloigne ; à ce 

 nombre pair de lignes il faut ajouter celle qui amène le mobile en B sans 

 (ju'il puisse y prendre une ligne non encore parcourue. Cela fait donc un 

 nombre impair. 



Enlevons virtuellement du système la chaîne allant de A en B, il restera 

 un système de lignes qui ne pourra avoir qu'une des compositions sui- 

 vantes : 



1" Un système continu à !2X — 2 points impairs ; 



2" Un système continu à 2N — 2 points impairs et un ou plusieurs sys- 

 tèmes continus à points pairs ; 



l-î" Plusieurs systèmes continus à points impairs tels, que la somme des 

 points impairs de tous les systèmes soit 2N — 2 ; 



4" Plusieurs systèmes continus à points im[)airs tels, que la somme des 

 points impairs de tous les systèmes soit 2 — N2 et un ou plusieurs systèmes 

 continus à points pairs . 



D'après la remarque déjà citée, les systèmes continus à points pairs des 

 2'"' et 4™^ hypothèses forment des chaînes fermées se reliant à la chaîne 



