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MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



M. LÂISAÎIT 



Docteur es sciences. Député de la Loire-Inférieure. 



SUR CERTAINES QUESTIONS DE LIMITES 



Fi?. 23. 



— Séance du 18 avril 1881. — 

 PREMIÈRE FORMULE GÉNÉRALE 



1. — Soit f (ï-) une fonction réelle, continue entre les deux valeurs a, 6, 



de la variable x. Représentons-la par 

 une courbe MN, rapportée à deux axes 

 rectangulaires, en supposant qu'on ait 

 OÂ = a, OB = b. 



Posons a = «6, 6 = ("H-^O 9, 6 

 étant une quantité extrêmement petite, 

 et n,h, des nombres entiers très grands. 

 Divisons enfin l'intervalle AB en/î par- 

 ties égales entre elles (et égales à 0), 

 et, sur chacune de ces parties, con- 

 struisons un rectangle avec l'une des ordonnées correspondantes de la 

 courbe comme hauteur. 



La base commune de tous ces rectangles sera 6. et leurs hauteurs, en 

 formant, par exemple, dans la tigurc ci-dessus des rectangles constamment 

 extérieurs, seront 



/-[(n-f 1)6], /■[(n+2)0]. /-[('i+A^O]. 



La limite de la somme de tous les rectangles en question, lorsque 

 diminue indétiinment, tend vers l'aire du trapèze mixtiligne MNBA, 



ni, 



représentée par l'intégrale définie / f (.r) dx, ou par F (6) — F (o). si nous 



désignons par F (a-) la fonction primitive de /"(ï). 



A la limite, lorsque n et k croissent indétiniment et que 6 tend vers zéro, 

 il vient donc 



lim.o[/"((n + l)0) +/'((»+2)ô) -f .... /'((/(-f A") ô)] ==F(6)-F(a); 

 mais 6= -, en vertu des relations précédemment posées. Donc 



