186 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



cela ne changerait absolument rien aux raisonnements qui nous ont servi 

 à établir nos formules. 



Sous la réserve de cette remarque, nous allons pouvoir appli([uer les 

 résultats précédents, en remplaçant f [x) par diverses fonctions dont nous 

 connaissons les fonctions primitives. 



APPLICATIONS 



3. — Soit d'abord /"(.r) = -, d'oi^i F(x) = l.r. i.a relation (1), ou 

 relation (3), deviendra 



(-) H^, + ^^+ +,7il] =•'» + *)• 



k 

 (■ étant toujours la limite vers laquelle tend le rapport -, 



C'est une généralisation de la formule connue 



lim. f-^ + ^ -r + J-l =12 



Ln+l^n-l-^2 ' ^ 2/1 J 



qui s'en déduit en faisant c = 1. 

 4. Soit maintenant f{x) = \x. d'où F(.r) =: x {\x — 1) = .r 1-. 



Faisons la substitution dans la formule (1) ou, pour plus de simplicité, 

 dans la formule (3) ; car le résultat se trouve le même dans les deux cas. 

 Nous aurons : 



lim. if|'i+l + |î±? + + l2±i-)=(l+o)|l±f-l*; 



n\ n n n ) ' ' ■ e c 



mais le premier membre représente le logarithme de 



Le second membre représente le logarithme de 



(1 + r) ' +c 



Donc, en revenant des logarithmes aux nombres, nous aurons : 

 (8) lim. - y/(n + 1) (n + 2) (h -f /.:) -= '—^ • 



