LAISANT. — SUR QUELQUES QUESTIONS DE LIMITES 187 



Si nous faisons, au contraire, la substitution flans Tune des relations (2) 

 ou (4), nous obtenons: 



(9) lim. - ^(H-t- i ) in + !2) (n + k) = —^ ' 



Cette formule se tirerait aussi de la relation (8) en élevant cette dernière 

 à la puissance -=:'^. Enfin, en multipliant la formule (9) P^r— — — jqj? 

 on en déduit encore : 



1 ''• (1 4- c) '■ 



< '0) '■'"• ^T^, \/(" + 1) (« + ^2) <" ^ /'■) = —^ ' 



Ces formules s'appliquent à toutes les valeurs positives de c, même à la 

 valeur c = oc , car, pour a; = 0, la fonction ]x prend bien une valeur 

 négative infinie; mais l'aire de la courbe tend vers une limite finie, ce qui 

 permet d'étendre le raisonnement même au cas où la limite inférieure a 

 devient nulle. 

 En faisant, par exemple, c = \, d'où k—-n, on a : 



\ ". . 4 



^'"^- 77 v'C* + 1) (" + ^^) ^^'^ = ë" 



En faisant = 2, la formule (8) donnerait : 



lim- -2 v/"(^+l){n+"2) 3/1 = -!• 



Le cas de c = conduit à des identités illusoires; mais celui de r = x , 

 dont nous venons de parler tout à l'heure, s'obtient en supposant ([ue n 

 soit un nombre tini quelconque, zéro par exemple, et la relation (10) peut 

 alors s'écrire : 



(11) 1™- X- v/1.-^ i^ = y 



si l'on remar(|ue que lim. (1 + c) «^ = 1 , pour c — ^ . ce dont il est facile 

 de s'assurer. 



Ce dernier résultat peut s'énoncer ainsi: /(/ mnijcnne géométrkiue des k 



] 



premiers nombres entiers, divisée par k, donne un quotient qui tend vers - 



lorsque k croit indéfiniment. 



