188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Reprenons les k nombres consécutifs n-fl, 7i-(-2, ... »-}-A-. 

 Leur moyenne arithmétique est évidemment 



=^ = ''0+1 + 1^)' 

 leur moyenne géométrique est la quantité déjà considérée ci-dessus: 



Enfin leur moyenne harmonique est 



k 



1 , 1 



?)-!-l ' ïi-j-â «4-/.: 



Si nous divisons a par y, en tenant compte de la formule (9), et si nous 

 passons à la limite, il viendra: 



1 + 1 

 (J^2) lim. ^= "^ 



y 



De même, en divisant a par yi. 



(13) lim. - 



1 + ^ 



( 1 (1 + r) ) 



Ces deux relations (12) et (13) nous donnent donc le théorème suivant : 

 Lorsque des nombres consécutifs, en nombre infin> , croissent indéfiniment , 

 de telle sorte que le l'apport entre le dernier et le premier d'entre eux 

 tende vers une limite \ -\-c. leurs moyennes arithmétique, géométrique et 

 harmonique tendent, respectivement, li devenir proportionnelles aux trois 

 quantités : 



1+'^- rO+c; 



1+^ 



r 7''-^'' ' 1(1 + 0' 



Pour c nul, ces trois quantités deviennent égales entre elles, résultat évi- 

 dent. 



Pour c infini, elles deviennent proportionnelles à e, 2, 0. Donc, eu par- 

 ticulier: 



