LAISANT. — SUR QUELQUES QUESTIONS DE LIMITES 189 



Les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des k premiers 

 nombres entiers, lorsque k augmente indéfiniment, tendent à devenir propor- 

 tionnelles aux trois quantités: e, "â, 0. respectivement. 



5. — Il est possible de généraliser les résultats que nous vouons d'obtenir 

 au numéro précédent. Dans les formules générales, si, au lieu de \x, nous 

 substituons à f{x) la fonction 'j>' (x) 1 cp (x) ou 1. [cp (x-) ]■?'<", nous aurons : 



F (x) — cp(.r) [1 cp (x) — 1] r= CD (x-) 1 i-i^^, et la formule (4) deviendra : 



:['(H^))'+\H^^))-3'H'^))' 



= i [,(0+1,1 î(£±i)-,(i),tli)], 



ou, en remontant des logarithmes aux nombres : 





9(c+i)-il 



[t (1)1 J 



Cette formule (14) peut [en donner beaucoup d'autres, en remplaçant 

 (p [x) par une fonction quelconque. En posant cp (x) = x, on retrouverait 

 les résultats du numéro précédent. 



Nous nous bornerons ici à l'exemple cp (x) = .r'^ d'où cp'(cc)=: Sx. En fai- 

 sant la substitution dans la formule (14) on obtient, après quelques réduc- 

 tions de calcul ne présentant pas la moindre difliculté ; 



(io) lim.4r.| (n + ir'('^ + 2 



n 2 



r 1- 



(n + ir+'(n + 2)"+^ (n-f/c;+' r" 



-^(c-fl) '' 



e 4 



